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【題目】一個幾何體的三視圖如圖所示,其中正視圖與側視圖是腰長為6的等腰直角三角形,俯視圖是正方形.

(1)請畫出該幾何體的直觀圖,并求出它的體積;

(2)用多少個這樣的幾何體可以拼成一個棱長為6的正方體ABCDA1B1C1D1?如何組拼?試證明你的結論;

(3)在(2)的情形下,設正方體ABCDA1B1C1D1的棱CC1的中點為E, 求平面AB1E與平面ABC所成二面角的余弦值.

【答案】(1)72;(2)見解析;(3)

【解析】試題分析:(1)先確定是一個四棱錐,再確定高與底面形狀,最后代入錐體體積公式計算(2)由體積關系確定錐體個數,再進行配湊(3)根據投影可得二面角的余弦值為對應兩個三角形面積之比

試題解析:(1)該幾何體的直觀圖如圖1所示,它是有一條側棱垂直于底面的四棱錐. 其中底面ABCD是邊長為6的正方形,高PD=6,故所求體積是V×62×6=72.

(2)依題意,正方體的體積是原四棱錐體積的3倍,故用3個這樣的四棱錐可以拼成一個棱長為6的正方體,即由四棱錐D1ABCD,D1BB1C1CD1BB1A1A組成.其拼法如圖2所示.

(3)因為△AB1E的邊長AB1=6,B1E=3AE=9,所以SAB1E=27,而SABC=18,所以平面AB1E與平面ABC所成二面角的余弦值為.

點睛:空間幾何體體積問題的常見類型及解題策略

(1)若所給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體、錐體或臺體,則可直接利用公式進行求解.

(2)若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出,則常用轉換法、分割法、補形法等方法進行求解.

(3)若以三視圖的形式給出幾何體,則應先根據三視圖得到幾何體的直觀圖,然后根據條件求解.

練習冊系列答案
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求橢圓的方程;

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;

;

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指數

空氣質量

優(yōu)

輕度污染

中度污染

重度污染

嚴重污染

天數

4

13

18

30

20

15

記某企業(yè)每天由空氣污染造成的經濟損失為(單位:元),指數為.當在區(qū)間內時,對企業(yè)沒有造成經濟損失;當在區(qū)間內時,對企業(yè)造成的經濟損失與成直線模型(當指數為150時,造成的經濟損失為1100元,當指數為200時,造成的經濟損失為1400元);當指數大于300時,造成的經濟損失為2000元. 

(1)試寫出的表達式;

(2)試估計在本年內隨機抽取1天,該天經濟損失大于1100且不超過1700元的概率;

(3)若本次抽取的樣本數據有30天是在供暖季,這30天中有8天為嚴重污染,完成列聯(lián)表,并判斷是否有的把握認為該市本年度空氣嚴重污染與供暖有關?

非嚴重污染

嚴重污染

合計

供暖季

非供暖季

合計

附:

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

,其中

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