Question

【題目】一個(gè)圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且和直線(xiàn)相切．

（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；

（2）已知點(diǎn)，設(shè)不垂直于軸的直線(xiàn)與軌跡交于不同的兩點(diǎn)，若軸是的角平分線(xiàn)，證明直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）圓心到定點(diǎn)與到定直線(xiàn)的距離相等，可知圓心的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線(xiàn)，求出方程即可；

（2）易知直線(xiàn)斜率存在且不為零，可設(shè)直線(xiàn)，設(shè)，，聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)方程，可得關(guān)于的一元二次方程，由軸是的角平分線(xiàn)，可得，整理可求得，再結(jié)合韋達(dá)定理，從而可求得的值，進(jìn)而可求得直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn).

（1）由題意，圓心到定點(diǎn)與到定直線(xiàn)的距離相等，

根據(jù)拋物線(xiàn)的定義可知，圓心的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線(xiàn)，其方程為.

（2）由題可知，直線(xiàn)與C有兩個(gè)交點(diǎn)且不垂于于軸，

所以直線(xiàn)斜率存在且不為零，設(shè)直線(xiàn)，，，

聯(lián)立，可得，

則，且，，

又，，軸是的角平分線(xiàn)，

所以，整理可得，

所以，即，此時(shí)滿(mǎn)足，故：，

所以，直線(xiàn)PQ過(guò)定點(diǎn).