【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是圓：上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)，線段的垂直平分線交于，記點(diǎn)的軌跡為.

（Ⅰ）求軌跡的方程；

（Ⅱ）若動(dòng)直線：與軌跡交于不同的兩點(diǎn)、，點(diǎn)在軌跡上，且四邊形為平行四邊形.證明：四邊形的面積為定值.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見(jiàn)證明

【解析】

(Ⅰ)由題意利用圖形的幾何性質(zhì)和橢圓的定義即可確定軌跡方程；

(Ⅱ)聯(lián)立直線方程與(Ⅰ)中求得的軌跡方程，結(jié)合韋達(dá)定理和平行四邊形的性質(zhì)得到面積的表達(dá)式，進(jìn)一步計(jì)算即可證得其面積為定值.

（Ⅰ）由題意：，

∴根據(jù)橢圓的定義，點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)的橢圓，其中，.

∴，，，

∴軌跡的方程為：；

（Ⅱ）證明：設(shè)、，

聯(lián)立方程組，得，

，∴，

，，

∴的中點(diǎn)，∴，

點(diǎn)在橢圓上，∴，

∴，

∴ ，

點(diǎn)到直線的距離，

∴

.

∴四邊形的面積為定值.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】一個(gè)圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且和直線相切．

（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；

（2）已知點(diǎn)，設(shè)不垂直于軸的直線與軌跡交于不同的兩點(diǎn)，若軸是的角平分線，證明直線過(guò)定點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

（1）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）設(shè)函數(shù)的極大值為，極小值為，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知的頂點(diǎn)，邊上的中線所在直線方程為，的角平分線所在直線方程為．

（I）求頂點(diǎn)的坐標(biāo)；

（II）求直線的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在四棱錐中，四邊形是矩形，平面平面，點(diǎn)分別為中點(diǎn).

（1）求證：平面.

（2）若.

①求二面角的余弦值.

②求三棱錐的體積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，．

（1）若直線與函數(shù)的圖象相切，求實(shí)數(shù)的值；

（2）若存在，，使，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）當(dāng)時(shí)，求證：．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知數(shù)列滿足（），（）．

（1）若，證明：是等比數(shù)列；

（2）若存在，使得，，成等差數(shù)列．

① 求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

② 證明：．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓，為左、右焦點(diǎn)，直線過(guò)交橢圓于，兩點(diǎn).

（1）若垂直于軸時(shí)，求；

（2）當(dāng)時(shí)，在軸上方時(shí)，求，的坐標(biāo)；

（3）若直線交軸于，直線交軸于，是否存在直線，使，若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】為了在夏季降溫和冬季取暖時(shí)減少能源消耗，業(yè)主決定對(duì)房屋的屋頂和外墻噴涂某種新型隔熱材料，該材料有效使用年限為20年．已知房屋外表噴一層這種隔熱材料的費(fèi)用為每毫米厚6萬(wàn)元，且每年的能源消耗費(fèi)用（萬(wàn)元）與隔熱層厚度（毫米）滿足關(guān)系：．設(shè)為隔熱層建造費(fèi)用與年的能源消耗費(fèi)用之和．

（1）請(qǐng)解釋的實(shí)際意義，并求的表達(dá)式；

（2）當(dāng)隔熱層噴涂厚度為多少毫米時(shí)，業(yè)主所付的總費(fèi)用最少？并求此時(shí)與不建隔熱層相比較，業(yè)主可節(jié)省多少錢(qián)？

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