【題目】已知橢圓的右焦點為，離心率為．過定點的直線交橢圓于不同的兩點， （點在點， 之間）．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若，求實數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）若射線交橢圓于點（為原點），求面積的最大值．

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】試題分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓的半焦距為，由題意， ， 又因，得．

由，解得．即得出橢圓的方程；

（Ⅱ）當直線斜率不存在時，其方程為，由，得，當直線斜率存在時，設(shè)其為，則直線方程為．由，可得則（1）由 得，判別式，解得，把韋達定理的式子帶入（1）得出，由即可得出實數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）由橢圓的對稱性可知， ， ，設(shè)點到直線的距離為，由（Ⅱ）可知，且 =，利用基本不等式可求得的最大值即可得出面積的最大值.

試題解析：

（Ⅰ）設(shè)橢圓的半焦距為，由題意， ， 又因，得．

由，解得．故橢圓的方程為．

（Ⅱ）當直線斜率不存在時，其方程為，此時， ， ， ， ，由，得．

當直線斜率存在時，設(shè)其為，則直線方程為．

設(shè)， ，則， ．

由，可得則 ． （1）

由 得，即．

判別式，解得．

且， ， 將其代入（1）得，

，由 ，

， 解得．又因在， 之間，所以．

綜上可得， 的取值范圍是．

（Ⅲ）由橢圓的對稱性可知， ， ．

設(shè)點到直線的距離為，由（Ⅱ）可知，

且

===

= =．

當且僅當 ，即時取“=”，

即 ， 故面積的最大值為．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)定義在R上的偶函數(shù)y=f（x），滿足對任意t∈R都有f（t）=f（2﹣t），且x∈（0，1]時，f（x）= ，a=f（ ），b=f（ ），c=f（ ），則（ ）
A.b＜c＜a
B.a＜b＜c
C.c＜a＜b
D.b＜a＜c

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖所示，正方形與直角梯形所在平面互相垂直， ， ， ．

（I）求證： 平面．

（II）求證： 平面．

（III）求四面體的體積．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，設(shè)動點到兩定點， 的距離的比值為的軌跡為曲線．

（Ⅰ）求曲線的方程；

（Ⅱ）若直線過點，且點到直線的距離為，求直線的方程，并判斷直線與曲線的位置關(guān)系．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知O為坐標原點，P為雙曲線 ﹣y2=1（a＞0）上一點，過P作兩條漸近線的平行線交點分別為A，B，若平行四邊形OAPB的面積為 ，則雙曲線的離心率為（ ）

A.
B.
C.
D.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知平面內(nèi)圓心為的圓的方程為，點是圓上的動點，點是平面內(nèi)任意一點，若線段的垂直平分線交直線于點，則點的軌跡可能是_________．（請將下列符合條件的序號都填入橫線上）

①橢圓；②雙曲線；③拋物線；④圓；⑤直線；⑥一個點.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C： +y2=1與直線l：y=kx+m相交于E、F兩不同點，且直線l與圓O：x2+y2= 相切于點W（O為坐標原點）．
（1）證明：OE⊥OF；
（2）設(shè)λ= ，求實數(shù)λ的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】甲、乙兩人相約于下午1：00～2：00之間到某車站乘公共汽車外出，他們到達車站的時間是隨機的．設(shè)在下午1：00～2：00之間該車站有四班公共汽車開出，開車時間分別是1：15，1：30，1：45，2：00.求他們在下述情況下乘同一班車的概率：

(1)約定見車就乘；

(2)約定最多等一班車．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知為圓上的動點， 的坐標為， 在線段的中點.

（Ⅰ）求的軌跡的方程.

（Ⅱ）過點的直線與交于兩點，且，求直線的方程.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案