【題目】已知,,若點(diǎn)A為函數(shù)上的任意一點(diǎn),點(diǎn)B為函數(shù)上的任意一點(diǎn).
(1)求A,B兩點(diǎn)之間距離的最小值;
(2)若A,B為函數(shù)與函數(shù)公切線的兩個(gè)切點(diǎn),求證:這樣的點(diǎn)B有且僅有兩個(gè),且滿足條件的兩個(gè)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)互為倒數(shù).
【答案】(1).(2)證明見(jiàn)解析
【解析】
(1)由于與互為反函數(shù),即函數(shù)圖象關(guān)于y=x對(duì)稱,且在點(diǎn)(0,1)處的切線為y=x+1和在點(diǎn)(1,0)的切線為y=x-1,所以A,B兩點(diǎn)之間的距離的最小值即為(0,1)與(1,0)之間的距離;
(2)在A處的切線為,在B 處的切線為,由于它們是,公切線 ,所以,聯(lián)立消得,,最后令,證,有且僅有兩個(gè)解,且兩個(gè)解互為倒數(shù)即可.
(1)解:由,則在點(diǎn)(0,1)處的切線為y=x+1,
又,則在點(diǎn)(1,0)的切線為y=x-1,
由于與互為反函數(shù),即函數(shù)圖象關(guān)于y=x對(duì)稱如圖,
故而A,B兩點(diǎn)之間的距離的最小值即為(0,1)與(1,0)之間的距離,
所以A,B兩點(diǎn)之間的距離的最小值為.
(2)設(shè)A ,B
則在A處的切線為,即
在B 處的切線為,即,
所以,則,
要證這樣的點(diǎn)B有且僅有兩個(gè),需證上式有且有兩個(gè)解,
令,下證有且僅有兩個(gè)解,
由,因?yàn)?/span>單調(diào)遞增,單調(diào)遞減,所以單調(diào)遞增,
又,,故存在唯一的,使得,
故而,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減;
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增;
又,,
所以在上有唯一的根;
記,由,則,
又,
故是在上有唯一的根,
所以有且僅有兩個(gè)解,
綜上所述,這樣的點(diǎn)B有且僅有兩個(gè),且滿足條件的兩個(gè)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)互為倒數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下圖是國(guó)家統(tǒng)計(jì)局今年4月11日發(fā)布的2018年3月到2019年3月全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格的漲跌幅情況折線圖.(注:2019年2月與2018年2月相比較稱同比,2019年2月與2019年1月相比較稱環(huán)比),根據(jù)該折線圖,下列結(jié)論錯(cuò)誤的是
A. 2018年3月至2019年3月全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格同比均上漲
B. 2018年3月至2019年3月全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格環(huán)比有漲有跌
C. 2019年3月全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格同比漲幅最大
D. 2019年3月全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格環(huán)比變化最快
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在吸煙與患肺病這兩個(gè)分類變量的計(jì)算中,下列說(shuō)法正確的是( )
A.若的觀測(cè)值為6.635,我們有的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系,那么在100個(gè)吸煙的人中必有99人患有肺病
B.從獨(dú)立性檢驗(yàn)可知有的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系時(shí),我們就說(shuō)某人吸煙,那么他有的可能患有肺病
C.若從統(tǒng)計(jì)量中求出有的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系,是指有的可能性使得推斷出現(xiàn)錯(cuò)誤
D.以上三種說(shuō)法都不正確
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2019年8月8日是我國(guó)第十一個(gè)全民健身日,其主題是:新時(shí)代全民健身動(dòng)起來(lái).某市為了解全民健身情況,隨機(jī)從某小區(qū)居民中抽取了40人,將他們的年齡分成7段:[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80]后得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)試求這40人年齡的平均數(shù)、中位數(shù)的估計(jì)值;
(2)若從樣本中年齡在[50,70)的居民中任取2人贈(zèng)送健身卡,求這2人中至少有1人年齡不低于60歲的概率;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知矩形,,,現(xiàn)將沿對(duì)角線向上翻折,若翻折過(guò)程中的長(zhǎng)度在范圍內(nèi)變化,則點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度是______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某健身機(jī)構(gòu)統(tǒng)計(jì)了去年該機(jī)構(gòu)所有消費(fèi)者的消費(fèi)金額(單位:元),如下圖所示:
(1)將去年的消費(fèi)金額超過(guò) 3200 元的消費(fèi)者稱為“健身達(dá)人”,現(xiàn)從所有“健身達(dá)人”中隨機(jī)抽取 2 人,求至少有 1 位消費(fèi)者,其去年的消費(fèi)金額超過(guò) 4000 元的概率;
(2)針對(duì)這些消費(fèi)者,該健身機(jī)構(gòu)今年欲實(shí)施入會(huì)制,詳情如下表:
會(huì)員等級(jí) | 消費(fèi)金額 |
普通會(huì)員 | 2000 |
銀卡會(huì)員 | 2700 |
金卡會(huì)員 | 3200 |
預(yù)計(jì)去年消費(fèi)金額在內(nèi)的消費(fèi)者今年都將會(huì)申請(qǐng)辦理普通會(huì)員,消費(fèi)金額在內(nèi)的消費(fèi)者都將會(huì)申請(qǐng)辦理銀卡會(huì)員,消費(fèi)金額在內(nèi)的消費(fèi)者都將會(huì)申請(qǐng)辦理金卡會(huì)員. 消費(fèi)者在申請(qǐng)辦理會(huì)員時(shí),需-次性繳清相應(yīng)等級(jí)的消費(fèi)金額.該健身機(jī)構(gòu)在今年底將針對(duì)這些消費(fèi)者舉辦消費(fèi)返利活動(dòng),現(xiàn)有如下兩種預(yù)設(shè)方案:
方案 1:按分層抽樣從普通會(huì)員, 銀卡會(huì)員, 金卡會(huì)員中總共抽取 25 位“幸運(yùn)之星”給予獎(jiǎng)勵(lì): 普通會(huì)員中的“幸運(yùn)之星”每人獎(jiǎng)勵(lì) 500 元; 銀卡會(huì)員中的“幸運(yùn)之星”每人獎(jiǎng)勵(lì) 600 元; 金卡會(huì)員中的“幸運(yùn)之星”每人獎(jiǎng)勵(lì) 800 元.
方案 2:每位會(huì)員均可參加摸獎(jiǎng)游戲,游戲規(guī)則如下:從-個(gè)裝有 3 個(gè)白球、 2 個(gè)紅球(球只有顏色不同)的箱子中, 有放回地摸三次球,每次只能摸-個(gè)球.若摸到紅球的總數(shù)消費(fèi)金額/元為 2,則可獲得 200 元獎(jiǎng)勵(lì)金; 若摸到紅球的總數(shù)為 3,則可獲得 300 元獎(jiǎng)勵(lì)金;其他情況不給予獎(jiǎng)勵(lì). 規(guī)定每位普通會(huì)員均可參加 1 次摸獎(jiǎng)游戲;每位銀卡會(huì)員均可參加 2 次摸獎(jiǎng)游戲;每位金卡會(huì)員均可參加 3 次摸獎(jiǎng)游戲(每次摸獎(jiǎng)的結(jié)果相互獨(dú)立) .
以方案 2 的獎(jiǎng)勵(lì)金的數(shù)學(xué)期望為依據(jù),請(qǐng)你預(yù)測(cè)哪-種方案投資較少?并說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的最小值;
(2)若恒成立,求實(shí)數(shù)的值;
(3)設(shè)有兩個(gè)極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍,并證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問(wèn)題:“遠(yuǎn)望巍巍塔七層,紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增,共燈三百八十一,請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈?”意思是:一座7層塔共掛了381盞燈,且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍,則塔的頂層共有燈( )
A. 1盞 B. 3盞 C. 5盞 D. 9盞
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