【題目】某健身機(jī)構(gòu)統(tǒng)計(jì)了去年該機(jī)構(gòu)所有消費(fèi)者的消費(fèi)金額(單位:元),如下圖所示:
(1)將去年的消費(fèi)金額超過(guò) 3200 元的消費(fèi)者稱為“健身達(dá)人”,現(xiàn)從所有“健身達(dá)人”中隨機(jī)抽取 2 人,求至少有 1 位消費(fèi)者,其去年的消費(fèi)金額超過(guò) 4000 元的概率;
(2)針對(duì)這些消費(fèi)者,該健身機(jī)構(gòu)今年欲實(shí)施入會(huì)制,詳情如下表:
會(huì)員等級(jí) | 消費(fèi)金額 |
普通會(huì)員 | 2000 |
銀卡會(huì)員 | 2700 |
金卡會(huì)員 | 3200 |
預(yù)計(jì)去年消費(fèi)金額在內(nèi)的消費(fèi)者今年都將會(huì)申請(qǐng)辦理普通會(huì)員,消費(fèi)金額在內(nèi)的消費(fèi)者都將會(huì)申請(qǐng)辦理銀卡會(huì)員,消費(fèi)金額在內(nèi)的消費(fèi)者都將會(huì)申請(qǐng)辦理金卡會(huì)員. 消費(fèi)者在申請(qǐng)辦理會(huì)員時(shí),需-次性繳清相應(yīng)等級(jí)的消費(fèi)金額.該健身機(jī)構(gòu)在今年底將針對(duì)這些消費(fèi)者舉辦消費(fèi)返利活動(dòng),現(xiàn)有如下兩種預(yù)設(shè)方案:
方案 1:按分層抽樣從普通會(huì)員, 銀卡會(huì)員, 金卡會(huì)員中總共抽取 25 位“幸運(yùn)之星”給予獎(jiǎng)勵(lì): 普通會(huì)員中的“幸運(yùn)之星”每人獎(jiǎng)勵(lì) 500 元; 銀卡會(huì)員中的“幸運(yùn)之星”每人獎(jiǎng)勵(lì) 600 元; 金卡會(huì)員中的“幸運(yùn)之星”每人獎(jiǎng)勵(lì) 800 元.
方案 2:每位會(huì)員均可參加摸獎(jiǎng)游戲,游戲規(guī)則如下:從-個(gè)裝有 3 個(gè)白球、 2 個(gè)紅球(球只有顏色不同)的箱子中, 有放回地摸三次球,每次只能摸-個(gè)球.若摸到紅球的總數(shù)消費(fèi)金額/元為 2,則可獲得 200 元獎(jiǎng)勵(lì)金; 若摸到紅球的總數(shù)為 3,則可獲得 300 元獎(jiǎng)勵(lì)金;其他情況不給予獎(jiǎng)勵(lì). 規(guī)定每位普通會(huì)員均可參加 1 次摸獎(jiǎng)游戲;每位銀卡會(huì)員均可參加 2 次摸獎(jiǎng)游戲;每位金卡會(huì)員均可參加 3 次摸獎(jiǎng)游戲(每次摸獎(jiǎng)的結(jié)果相互獨(dú)立) .
以方案 2 的獎(jiǎng)勵(lì)金的數(shù)學(xué)期望為依據(jù),請(qǐng)你預(yù)測(cè)哪-種方案投資較少?并說(shuō)明理由.
【答案】(1)(2)預(yù)計(jì)方案2投資較少.詳見(jiàn)解析
【解析】
(1)由題意,隨機(jī)變量的可能值為“”,得,即可求解。
(2)根據(jù)方案1求得按照方案1獎(jiǎng)勵(lì)的總金額元,又由方案2:得到的可能值為“”,求得其概率,列出分布列,求得按照方案2獎(jiǎng)勵(lì)的總金額,比較得到答案。
(1)設(shè)隨機(jī)抽取的2人中,去年的消費(fèi)金額超過(guò)4000元的消費(fèi)者有人,
則的可能值為“0,1,2”,
∴ .
(或者.
(2)方案1:按分層抽樣從普通會(huì)員,銀卡會(huì)員,金卡會(huì)員中總共抽取25位“幸運(yùn)之星”,則“幸運(yùn)之星”中的普通會(huì)員,銀卡會(huì)員,金卡會(huì)員的人數(shù)分別為:
,,,
∴按照方案1獎(jiǎng)勵(lì)的總金額為:元,
方案2:設(shè)表示參加一次摸獎(jiǎng)游戲所獲得的獎(jiǎng)勵(lì)金,
則的可能值為“0,200,300”,
∵摸到紅球的概率:,∴ ,
,,
∴的分布列為
0 | 200 | 300 | |
∴元,
∴按照方案2獎(jiǎng)勵(lì)的總金額為:
元,
∵方案1獎(jiǎng)勵(lì)的總金額多于方案1獎(jiǎng)勵(lì)的總金額,
∴預(yù)計(jì)方案2投資較少.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某工廠家具車(chē)間造、型兩類桌子,每張桌子需木工和漆工梁道工序完成.已知木工做一張、型型桌子分別需要1小時(shí)和2小時(shí),漆工油漆一張、型型桌子分別需要3小時(shí)和1小時(shí);又知木工、漆工每天工作分別不得超過(guò)8小時(shí)和9小時(shí),而工廠造一張、型型桌子分別獲利潤(rùn)2千元和3千元.
(1)列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式,并畫(huà)出可行域;
(2)怎樣分配生產(chǎn)任務(wù)才能使每天的利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)是多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求函數(shù)在上的最值;
(Ⅱ)試討論零點(diǎn)個(gè)數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】甲乙兩人報(bào)名參加由某網(wǎng)絡(luò)科技公司舉辦的“技能闖關(guān)”雙人電子競(jìng)技比賽,比賽規(guī)則如下:每一輪“闖關(guān)”結(jié)果都采取計(jì)分制,若在一輪闖關(guān)中,一人過(guò)關(guān)另一人未過(guò)關(guān),過(guò)關(guān)者得1分,未過(guò)關(guān)得分;若兩人都過(guò)關(guān)或都未過(guò)關(guān)則兩人均得0分.甲、乙過(guò)關(guān)的概率分別為和,在一輪闖關(guān)中,甲的得分記為.
(1)求的分布列;
(2)為了增加趣味性,系統(tǒng)給每位報(bào)名者基礎(chǔ)分3分,并且規(guī)定出現(xiàn)一方比另一方多過(guò)關(guān)三輪者獲勝,此二人比賽結(jié)束.表示“甲的累積得分為時(shí),最終認(rèn)為甲獲勝”的概率,則,其中,,,令.證明:點(diǎn)的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為;
(3)在第(2)問(wèn)的條件下求,并嘗試解釋游戲規(guī)則的公平性.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知,,若點(diǎn)A為函數(shù)上的任意一點(diǎn),點(diǎn)B為函數(shù)上的任意一點(diǎn).
(1)求A,B兩點(diǎn)之間距離的最小值;
(2)若A,B為函數(shù)與函數(shù)公切線的兩個(gè)切點(diǎn),求證:這樣的點(diǎn)B有且僅有兩個(gè),且滿足條件的兩個(gè)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)互為倒數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)為曲線上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)在線段上,且滿足,求點(diǎn)的軌跡的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)點(diǎn)的極坐標(biāo)為,點(diǎn)在曲線上,求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,地圖上有一豎直放置的圓形標(biāo)志物,圓心為C,與地面的接觸點(diǎn)為G.與圓形標(biāo)志物在同一平面內(nèi)的地面上點(diǎn)P處有一個(gè)觀測(cè)點(diǎn),且PG=50m.在觀測(cè)點(diǎn)正前方10m處(即PD=10m)有一個(gè)高位10m(即ED=10m)的廣告牌遮住了視線,因此在觀測(cè)點(diǎn)所能看到的圓形標(biāo)志的最大部分即為圖中從A到F的圓。
(1)若圓形標(biāo)志物半徑為25m,以PG所在直線為X軸,G為坐標(biāo)原點(diǎn),建立直角坐標(biāo)系,求圓C和直線PF的方程;
(2)若在點(diǎn)P處觀測(cè)該圓形標(biāo)志的最大視角(即)的正切值為,求該圓形標(biāo)志物的半徑.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列是遞減的等差數(shù)列,的前項(xiàng)和是,且,有以下四個(gè)結(jié)論:
①;
②若對(duì)任意都有成立,則的值等于7或8時(shí);
③存在正整數(shù),使;
④存在正整數(shù),使.
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是
A. ①②B. ①②③
C. ②③④D. ①②③④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),為的導(dǎo)數(shù).
(Ⅰ)求曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(Ⅱ)證明:在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn);
(Ⅲ)設(shè),若對(duì)任意,均存在,使得,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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