Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）當時，求函數(shù)在上的最值；

（Ⅱ）試討論零點個數(shù).

Answer 1

【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）當或時，只有一個零點；當或時，有兩個零點.

【解析】

（Ⅰ）由題意得，求得函數(shù)的單調(diào)性后即可求出最值；

（Ⅱ）求導得，當時，在上單調(diào)遞減，由即可得解；當時，在處取得極大值，令，根據(jù)、和分類討論，根據(jù)零點存在性定理即可得解.

（Ⅰ）當時，，，

當時，，當時，，

在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

因，

故，.

（Ⅱ）因，.

當時在上恒成立，

在上單調(diào)遞減，又因為，有唯一的零點；

當時，有時，當時，

在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

在處取得極大值，即最大值，

設，，

當時，有，，在上單調(diào)遞減，

在上恒成立， 即，

即，，

又因為，

在上有一個零點，

又，所以此時有兩個零點；

當時，有，，在上單調(diào)遞增，

在上恒成立， 即，

令，則，易知，

，

，

在上有一個零點，又，所以此時有兩個零點；

當時，，此時有唯一的零點；

綜上所述，當或時，只有一個零點；

當或時，有兩個零點.