Question

【題目】如圖，在三棱臺(tái)ABC﹣DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3．

（1）求證：BF⊥平面ACFD；
（2）求直線BD與平面ACFD所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：延長AD，BE，CF相交于一點(diǎn)K，如圖所示：

∵平面BCFE⊥平面ABC，且AC⊥BC；

∴AC⊥平面BCK，BF平面BCK；

∴BF⊥AC；

又EF∥BC，BE=EF=FC=1，BC=2；

∴△BCK為等邊三角形，且F為CK的中點(diǎn)；

∴BF⊥CK，且AC∩CK=C；

∴BF⊥平面ACFD

（2）

∵BF⊥平面ACFD；

∴∠BDF是直線BD和平面ACFD所成的角；

∵F為CK中點(diǎn)，且DF∥AC；

∴DF為△ACK的中位線，且AC=3；

∴ ；

又 ；

∴在Rt△BFD中， ，cos ；

即直線BD和平面ACFD所成角的余弦值為 ．

【解析】（1）根據(jù)三棱臺(tái)的定義，可知分別延長AD，BE，CF，會(huì)交于一點(diǎn)，并設(shè)該點(diǎn)為K，并且可以由平面BCFE⊥平面ABC及∠ACB=90°可以得出AC⊥平面BCK，進(jìn)而得出BF⊥AC．而根據(jù)條件可以判斷出點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊BK，CK的中點(diǎn)，從而得出△BCK為等邊三角形，進(jìn)而得出BF⊥CK，從而根據(jù)線面垂直的判定定理即可得出BF⊥平面ACFD；
（2）由BF⊥平面ACFD便可得出∠BDF為直線BD和平面ACFD所成的角，根據(jù)條件可以求出BF= ，DF= ，從而在Rt△BDF中可以求出BD的值，從而得出cos∠BDF的值，即得出直線BD和平面ACFD所成角的余弦值．
考查三角形中位線的性質(zhì)，等邊三角形的中線也是高線，面面垂直的性質(zhì)定理，以及線面垂直的判定定理，線面角的定義及求法，直角三角形邊的關(guān)系，三角函數(shù)的定義．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了直線與平面垂直的判定和空間角的異面直線所成的角的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則才能正確解答此題．