【題目】如圖,在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中AA1=AD=1,E為CD中點.
(Ⅰ)求證:B1E⊥AD1;
(Ⅱ)在棱AA1上是否存在一點P,使得DP∥平面B1AE?若存在,求AP的長;若不存在,說明理由.
(Ⅲ)若二面角A﹣B1E﹣A1的大小為30°,求AB的長.

【答案】解:(I)以A為原點, , , 的方向為X軸,Y軸,Z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,
設(shè)AB=a,則A(0,0,0),D(0,1,0),D1(0,1,1),E( ,1,0),B1(a,0,1)
=(0,1,1), =(﹣ ,1,﹣1), =(a,0,1), =( ,1,0),
=1﹣1=0
∴B1E⊥AD1;
(II)假設(shè)在棱AA1上存在一點P(0,0,t),使得DP∥平面B1AE.此時 =(0,﹣1,t).
又設(shè)平面B1AE的法向量 =(x,y,z).
⊥平面B1AE,∴ ⊥B1A, ⊥AE,得 ,取x=1,得平面B1AE的一個法向量 =(1,﹣ ,﹣a).
要使DP∥平面B1AE,只要 ,即有 =0,有此得 ﹣at=0,解得t= ,即P(0,0, ),
又DP平面B1AE,
∴存在點P,滿足DP∥平面B1AE,此時AP=
(III)連接A1D,B1C,由長方體ABCD﹣A1B1C1D1及AA1=AD=1,得AD1⊥A1D.
∵B1C∥A1D,∴AD1⊥B1C.
由(I)知,B1E⊥AD1 , 且B1C∩B1E=B1
∴AD1⊥平面DCB1A1 ,
是平面B1A1E的一個法向量,此時 =(0,1,1).
設(shè) 所成的角為θ,則cosθ= =
∵二面角A﹣B1E﹣A1的大小為30°,
∴|cosθ|=cos30°= ,即| |= ,解得a=2,即AB的長為2

【解析】(Ⅰ)由題意及所給的圖形,可以A為原點, , 的方向為X軸,Y軸,Z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AB=a,給出圖形中各點的坐標(biāo),可求出向量 的坐標(biāo),驗證其數(shù)量積為0即可證出兩線段垂直.(II)由題意,可先假設(shè)在棱AA1上存在一點P(0,0,t),使得DP∥平面B1AE,求出平面B1AE法向量,可法向量與直線DP的方向向量內(nèi)積為0,由此方程解出t的值,若能解出,則說明存在,若不存在符合條件的t的值,說明不存在這樣的點P滿足題意.(III)由題設(shè)條件,可求面夾二面角的兩個平面的法向量,利用兩平面的夾角為30°建立關(guān)于a的方程,解出a的值即可得出AB的長
【考點精析】掌握空間中直線與直線之間的位置關(guān)系和直線與平面平行的判定是解答本題的根本,需要知道相交直線:同一平面內(nèi),有且只有一個公共點;平行直線:同一平面內(nèi),沒有公共點;異面直線: 不同在任何一個平面內(nèi),沒有公共點;平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡記為:線線平行,則線面平行.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】以下四個關(guān)于圓錐曲線的命題:

①設(shè)A,B是兩個定點,k為非零常數(shù),若|PA|-|PB|=k,則P的軌跡是雙曲線;

②過定圓C上一定點A作圓的弦AB,O為原點,若.則動點P的軌跡是橢圓;

③方程的兩根可以分別作為橢圓和雙曲線的離心率;

④雙曲線與橢圓有相同的焦點.

其中正確命題的序號為________

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在對人們的休閑方式的一次調(diào)查中,共調(diào)查了124人,其中女性70人,男性54人.女性中有43人主要的休閑方式是看電視,另外27人主要的休閑方式是運(yùn)動;男性中有21人主要的休閑方式是看電視,另外33人主要的休閑方式是運(yùn)動.

(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個列聯(lián)表;

(2)判斷性別與休閑方式是否有關(guān)系.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C: 的離心率 ,且橢圓C上的點到點Q(0,2)的距離的最大值為3.
(1)求橢圓C的方程;
(2)在橢圓C上,是否存在點M(m,n),使得直線l:mx+ny=1與圓O:x2+y2=1相交于不同的兩點A、B,且△OAB的面積最大?若存在,求出點M的坐標(biāo)及對應(yīng)的△OAB的面積;若不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某玩具生產(chǎn)公司每天計劃生產(chǎn)衛(wèi)兵、騎兵、傘兵這三種玩具共個,生產(chǎn)一個衛(wèi)兵需分鐘,生產(chǎn)一個騎兵需分鐘,生產(chǎn)一個傘兵需分鐘,已知總生產(chǎn)時間不超過小時,若生產(chǎn)一個衛(wèi)兵可獲利潤元,生產(chǎn)一個騎兵可獲利潤元,生產(chǎn)一個傘兵可獲利潤元.

(1)用每天生產(chǎn)的衛(wèi)兵個數(shù)與騎兵個數(shù)表示每天的利潤(元);

(2)怎么分配生產(chǎn)任務(wù)才能使每天的利潤最大,最大利潤是多少?

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】(1)選修4﹣2:矩陣與變換
設(shè)曲線2x2+2xy+y2=1在矩陣A= (a>0)對應(yīng)的變換作用下得到的曲線為x2+y2=1.
(Ⅰ)求實數(shù)a,b的值.
(Ⅱ)求A2的逆矩陣.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)yf(x)(x∈R),對函數(shù)yg(x)(x∈R),定義g(x)關(guān)于f(x)的“對稱函數(shù)”為函數(shù)yh(x)(x∈R),yh(x)滿足:對任意的x∈R,兩個點(x,h(x)),(x,g(x))關(guān)于點(xf(x))對稱.若h(x)是g(x)=關(guān)于f(x)=3xb的“對稱函數(shù)”,且h(x)>g(x)恒成立,則實數(shù)b的取值范圍是________

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在三棱臺ABC﹣DEF中,平面BCFE⊥平面ABC,∠ACB=90°,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.

(1)求證:BF⊥平面ACFD;
(2)求直線BD與平面ACFD所成角的余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】(題文)(12分)設(shè)fx=2x3+ax2+bx+1的導(dǎo)數(shù)為f′x),若函數(shù)y=f′x)的圖象關(guān)于直線x=﹣對稱,且f′1=0

)求實數(shù)a,b的值

)求函數(shù)fx)的極值.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案