【題目】如圖1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=6,D,E分別是AC,AB上的點,且DE∥BC,DE=2,將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1C⊥CD,如圖2.
(1)求證:A1C⊥平面BCDE;
(2)若M是A1D的中點,求CM與平面A1BE所成角的大小;
(3)線段BC上是否存在點P,使平面A1DP與平面A1BE垂直?說明理由.
【答案】
(1)證明:∵CD⊥DE,A1D⊥DE,CD∩A1D=D,
∴DE⊥平面A1CD,
又∵A1C平面A1CD,∴A1C⊥DE
又A1C⊥CD,CD∩DE=D
∴A1C⊥平面BCDE
(2)解:如圖建系,則C(0,0,0),D(﹣2,0,0),A1(0,0,2 ),B(0,3,0),E(﹣2,2,0)
∴ ,
設(shè)平面A1BE法向量為
則 ∴ ∴
∴
又∵M(﹣1,0, ),∴ =(﹣1,0, )
∴
∴CM與平面A1BE所成角的大小45°
(3)解:設(shè)線段BC上存在點P,設(shè)P點坐標為(0,a,0),則a∈[0,3]
∴ ,
設(shè)平面A1DP法向量為
則 ∴
∴
假設(shè)平面A1DP與平面A1BE垂直,則 ,
∴3a+12+3a=0,6a=﹣12,a=﹣2
∵0≤a≤3
∴不存在線段BC上存在點P,使平面A1DP與平面A1BE垂直
【解析】(1)證明A1C⊥平面BCDE,因為A1C⊥CD,只需證明A1C⊥DE,即證明DE⊥平面A1CD;(2)建立空間直角坐標系,用坐標表示點與向量,求出平面A1BE法向量 , =(﹣1,0, ),利用向量的夾角公式,即可求得CM與平面A1BE所成角的大小;(3)設(shè)線段BC上存在點P,設(shè)P點坐標為(0,a,0),則a∈[0,3],求出平面A1DP法向量為
假設(shè)平面A1DP與平面A1BE垂直,則 ,可求得0≤a≤3,從而可得結(jié)論.
【考點精析】認真審題,首先需要了解直線與平面垂直的判定(一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直;注意點:a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想),還要掌握向量語言表述面面的垂直、平行關(guān)系(若平面的法向量為,平面的法向量為,要證∥,只需證∥,即證;要證,只需證,即證)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】遂寧市觀音湖港口船舶?康姆桨甘窍鹊较韧#
(1)若甲乙兩艘船同時到達港口,雙方約定各派一名代表從1,2,3,4,5中各隨機選一個數(shù)(甲、乙選取的數(shù)互不影響),若兩數(shù)之和為偶數(shù),則甲先?浚蝗魞蓴(shù)之和為奇數(shù),則乙先?,這種規(guī)則是否公平?請說明理由.
(2)根據(jù)以往經(jīng)驗,甲船將于早上7:00~8:00到達,乙船將于早上7:30~8:30到達,請求出甲船先停靠的概率
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系xOy中,已知橢圓C: 的離心率 ,且橢圓C上的點到點Q(0,2)的距離的最大值為3.
(1)求橢圓C的方程;
(2)在橢圓C上,是否存在點M(m,n),使得直線l:mx+ny=1與圓O:x2+y2=1相交于不同的兩點A、B,且△OAB的面積最大?若存在,求出點M的坐標及對應(yīng)的△OAB的面積;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)選修4﹣2:矩陣與變換
設(shè)曲線2x2+2xy+y2=1在矩陣A= (a>0)對應(yīng)的變換作用下得到的曲線為x2+y2=1.
(Ⅰ)求實數(shù)a,b的值.
(Ⅱ)求A2的逆矩陣.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)y=f(x)(x∈R),對函數(shù)y=g(x)(x∈R),定義g(x)關(guān)于f(x)的“對稱函數(shù)”為函數(shù)y=h(x)(x∈R),y=h(x)滿足:對任意的x∈R,兩個點(x,h(x)),(x,g(x))關(guān)于點(x,f(x))對稱.若h(x)是g(x)=關(guān)于f(x)=3x+b的“對稱函數(shù)”,且h(x)>g(x)恒成立,則實數(shù)b的取值范圍是________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù),的圖象在點處的切線與直線平行.
(1)求的值;
(2)若函數(shù),且在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù),求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱臺ABC﹣DEF中,平面BCFE⊥平面ABC,∠ACB=90°,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.
(1)求證:BF⊥平面ACFD;
(2)求直線BD與平面ACFD所成角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù), ,其中是自然對數(shù)的底數(shù).
(Ⅰ)求曲線在點處的切線方程;
(Ⅱ)令,討論的單調(diào)性并判斷有無極值,有極值時求出極值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若命題p:函數(shù)y=x2﹣2x的單調(diào)遞增區(qū)間是[1,+∞),命題q:函數(shù)y=x﹣ 的單調(diào)遞增區(qū)間是[1,+∞),則( )
A.p∧q是真命題
B.p∨q是假命題
C.非p是真命題
D.非q是真命題
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