【題目】已知函數(shù), ,其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

(Ⅰ)求曲線在點(diǎn)處的切線方程;

(Ⅱ)令,討論的單調(diào)性并判斷有無(wú)極值,有極值時(shí)求出極值.

【答案】(1) (2)見(jiàn)解析

【解析】試題分析:(Ⅰ)求導(dǎo)數(shù)得斜率,由點(diǎn)斜式寫出直線方程.

(Ⅱ)寫出函數(shù)

求導(dǎo)數(shù)得到 ,由于的正負(fù)與的取值有關(guān),故可令,通過(guò)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究上的單調(diào)性,明確其正負(fù).然后分以下情況討論 極值情況:(1)當(dāng)時(shí).(2)當(dāng)時(shí).

試題解析:(Ⅰ)由題意

,

所以,

因此 曲線在點(diǎn)處的切線方程為

.

(Ⅱ)由題意得 ,

因?yàn)?/span>

,

所以上單調(diào)遞增.

因?yàn)?/span>

所以 當(dāng)時(shí),

當(dāng)時(shí),

(1)當(dāng)時(shí),

當(dāng)時(shí), , 單調(diào)遞減,

當(dāng)時(shí), 單調(diào)遞增,

所以 當(dāng)時(shí)取得極小值,極小值是

(2)當(dāng)時(shí),

,

①當(dāng)時(shí), ,

當(dāng)時(shí), , 單調(diào)遞增;

當(dāng)時(shí), 單調(diào)遞減;

當(dāng)時(shí), 單調(diào)遞增.

所以 當(dāng)時(shí)取得極大值.

極大值為,

當(dāng)時(shí)取到極小值,極小值是

②當(dāng)時(shí), ,

所以 當(dāng)時(shí), ,函數(shù)上單調(diào)遞增,無(wú)極值;

③當(dāng)時(shí),

所以 當(dāng)時(shí), , 單調(diào)遞增;

當(dāng)時(shí), , 單調(diào)遞減;

當(dāng)時(shí), 單調(diào)遞增;

所以 當(dāng)時(shí)取得極大值,極大值是;

當(dāng)時(shí)取得極小值.

極小值是.

綜上所述:

當(dāng)時(shí), 上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,

函數(shù)有極小值,極小值是;

當(dāng)時(shí),函數(shù)上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,函數(shù)有極大值,也有極小值,

極大值是

極小值是;

當(dāng)時(shí),函數(shù)上單調(diào)遞增,無(wú)極值;

當(dāng)時(shí),函數(shù)上單調(diào)遞增,

上單調(diào)遞減,函數(shù)有極大值,也有極小值,

極大值是

極小值是.

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D.

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