Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ln（x+1）+ax，其中a∈R．

（Ⅰ） 當(dāng)a=﹣1時(shí)，求證：f（x）≤0；

（Ⅱ） 對任意x2≥ex1＞0，存在x∈（﹣1，+∞），使 成立，求a的取值范圍．（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，e=2.71828…）

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

試題分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而證明結(jié)論即可．

（2）令，把問題轉(zhuǎn)化為，設(shè)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

試題分析：

解：（Ⅰ）證明：當(dāng) a=﹣1時(shí)，f（x）=ln（x+1）﹣x（x＞﹣1），

則 ，令f'（x）=0，得x=0．

當(dāng)﹣1＜x＜0時(shí)，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；

當(dāng)x＞0時(shí)，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減．

故當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)f（x）取得極大值，也為最大值，

所以f（x）max=f（0）=0，

所以，f（x）≤0，得證．

（Ⅱ）不等式 ，

即為 ．

而

= ．

令 ．故對任意t≥e，存在x∈（﹣1，+∞），使 恒成立，

所以 ，

設(shè) ，則 ，

設(shè)u（t）=t﹣1﹣lnt，知 對于t≥e恒成立，

則u（t）=t﹣1﹣lnt為[e，+∞）上的增函數(shù)，

于是u（t）=t﹣1﹣lnt≥u（e）=e﹣2＞0，

即 對于t≥e恒成立，

所以 為[e，+∞）上的增函數(shù)，

所以 ；

設(shè)p（x）=﹣f（x）﹣a，即p（x）=﹣ln（x+1）﹣ax﹣a，

當(dāng)a≥0時(shí)，p（x）為（0，+∞）上的減函數(shù)，

且其值域?yàn)?/span>R，可知符合題意．

當(dāng)a＜0時(shí)， ，由p'（x）=0可得 ，

由p'（x）＞0得 ，則p（x）在 上為增函數(shù)，

由p'（x）＜0得 ，則p（x）在 上為減函數(shù)，

所以 ．

從而由 ，解得 ，

綜上所述，a的取值范圍是