【題目】如圖1,在直角梯形ADCE中,AD∥EC,∠ADC=90°,AB⊥EC,AB=EB=1, .將△ABE沿AB折到△ABE1的位置,使∠BE1C=90°.M,N分別為BE1 , CD的中點(diǎn).如圖2.
(1)求證:MN∥平面ADE1;
(2)求證:AM⊥E1C;
(3)求平面AE1N與平面BE1C所成銳二面角的余弦值.
【答案】
(1)證明:由題意,以E1為原點(diǎn),E1B為x軸,E1C為y軸,過E1作平面E1BC的直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
則M( ,0,0),N(0,1, ),E1(0,0,0),A(1,0,1),D(0,1,1),
=(﹣ ,1, ), =(1,0,1), =(0,1,1),
設(shè)平面ADE1的法向量 =(x,y,z),
則 ,取x=1,得 =(1,1,﹣1),
∵ =﹣ =0,∴ ⊥ ,
又MN平面ADE1,∴MN∥平面ADE1.
(2)證明:C(0,1,0), =(﹣ ,0,﹣1), =(0,1,0),
∴ =0,
∴AM⊥E1C.
(3)解: =(1,0,1), =(0,1, ),
設(shè)平面AE1N的法向量 =(x,y,z),
則 ,取x=2,得 =(2,1,﹣2),
又平面BE1C的法向量 =(0,0,1),
cos< >= = ,
∴平面AE1N與平面BE1C所成銳二面角的余弦值為 .
【解析】(1)由題意,以E1為原點(diǎn),E1B為x軸,E1C為y軸,過E1作平面E1BC的直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能證明AM⊥E1C.(3)求出平面AE1N的法向量和平面BE1C的法向量,利用向量法能求出平面AE1N與平面BE1C所成銳二面角的余弦值.
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解直線與平面平行的判定(平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡記為:線線平行,則線面平行).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=|x﹣ |+|x+m|(m>0)
(1)證明:f(x)≥4;
(2)若f(2)>5,求m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知AB是⊙O的直徑,AC是弦,AD⊥CE,垂足為D,AC平分∠BAD.
(1)求證:直線CE是⊙O的切線;
(2)求證:AC2=ABAD.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓心在軸上的圓與直線切于點(diǎn).圓: .
(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)已知,圓與軸相交于兩點(diǎn)(點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)).過點(diǎn)任作一條傾斜角不為0的直線與圓相交于兩點(diǎn).問:是否存在實(shí)數(shù),使得?若存在,求出實(shí)數(shù)的值,若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=(x﹣a)ex+(a﹣1)x+a,a∈R.
(1)當(dāng)a=1時(shí),求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;
(2)設(shè)g(x)=f′(x),證明:當(dāng)a>2時(shí),函數(shù)g(x)在(0,+∞)上僅有一個(gè)零點(diǎn);
(3)若對任意的x∈[0,2],恒有f(x)≤0成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如果執(zhí)行右邊的程序框圖,輸入正整數(shù)N(N≥2)和實(shí)數(shù)a1 , a2 , …,an , 輸出A,B,則( )
A.A+B為a1 , a2 , …,an的和
B. 為a1 , a2 , …,an的算術(shù)平均數(shù)
C.A和B分別是a1 , a2 , …,an中最大的數(shù)和最小的數(shù)
D.A和B分別是a1 , a2 , …,an中最小的數(shù)和最大的數(shù)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某高校在今年的自主招生考試成績中隨機(jī)抽取100名考生的筆試成績,分為5組制出頻率分布直方圖如圖所示.
組號(hào) | 分組 | 頻數(shù) | 頻率 |
1 | 5 | 0.05 | |
2 | 35 | 0.35 | |
3 | |||
4 | |||
5 | 10 | 0.1 |
(1)求的值.
2)該校決定在成績較好的3、4、5組用分層抽樣抽取6名學(xué)生進(jìn)行面試,則每組應(yīng)各抽多少名學(xué)生?
(3)在(2)的前提下,從抽到6名學(xué)生中再隨機(jī)抽取2名被甲考官面試,求這2名學(xué)生來自同一組的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ln(x+1)+ax,其中a∈R.
(Ⅰ) 當(dāng)a=﹣1時(shí),求證:f(x)≤0;
(Ⅱ) 對任意x2≥ex1>0,存在x∈(﹣1,+∞),使 成立,求a的取值范圍.(其中e是自然對數(shù)的底數(shù),e=2.71828…)
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