【題目】設函數(shù)f(x)=(x﹣a)ex+(a﹣1)x+a,a∈R.
(1)當a=1時,求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;
(2)設g(x)=f′(x),證明:當a>2時,函數(shù)g(x)在(0,+∞)上僅有一個零點;
(3)若對任意的x∈[0,2],恒有f(x)≤0成立,求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】
(1)解:當a=1時,f(x)=(x﹣1)ex+1,

f(x)的導數(shù)為f'(x)=xex,

可得y=f(x)在點(1,f(1))處的切線斜率為e,切點(1,1),

即有切線的方程為y﹣1=e(x﹣1),

即為y=ex+1﹣e;


(2)解:證明:g(x)=f'(x)=ex(x﹣a+1)+(a﹣1),

∴g'(x)=ex(x﹣a+2),

當g'(x)<0時,x<a﹣2;當g'(x)>0時,x>a﹣2

∵a>2,

∴函數(shù)g(x)在(0,a﹣2)上遞減;在(a﹣2,+∞)上遞增,

又∵g(0)=0,g(a)=ea+a﹣1>0,

當a>2時,函數(shù)g(x)在(0,+∞)上僅有一個零點;


(3)解:對任意的x∈[0,2],恒有f(x)≤0成立,

即為(x﹣a)ex+(a﹣1)x+a≤0對任意的x∈[0,2]恒成立,

顯然x=0時,0≤0成立;

當0<x≤2時,(xex﹣x)+a(1+x﹣ex)≤0成立,

由1+x﹣ex的導數(shù)為1﹣ex,當0<x≤2時,1﹣ex<0,

函數(shù)1+x﹣ex遞減,即有1+x﹣ex<0,

則a≥ 在0<x≤2恒成立,

令h(x)= 的導數(shù)為h′(x)= ,

由(1﹣ex2﹣x2ex的導數(shù)為ex(2ex﹣2﹣x2﹣2x),

由2ex﹣2﹣x2﹣2x的導數(shù)為2ex﹣2x﹣2=2(ex﹣x﹣1),

由ex﹣x﹣1的導數(shù)為ex﹣1,在x>0時,ex﹣x﹣1遞增,且大于0,

則2ex﹣2﹣x2﹣2x遞增,且大于0;即有(1﹣ex2﹣x2ex遞增,大于0;

則h(x)在(0,2]遞增,且有h(x)≤h(2)= ,

故a的范圍是a≥


【解析】(1)當a=1時,f(x)=(x﹣1)ex+1,求出函數(shù)f(x)的導數(shù),求得切線的斜率和切點,由點斜式方程可得切線的方程;(2)由g(x)=f'(x)=ex(x﹣a+1)+(a﹣1),得到g'(x)=ex(x﹣a+2),從而函數(shù)g(x)在(0,a﹣2)上遞減;在(a﹣2,+∞)上遞增,再代入特殊值進而證得結論成立;(3)對任意的x∈[0,2],恒有f(x)≤0成立,即為(x﹣a)ex+(a﹣1)x+a≤0對任意的x∈[0,2]恒成立,顯然x=0時,0≤0成立;當0<x≤2時,(xex﹣x)+a(1+x﹣ex)≤0成立,判斷1+x﹣ex<0,運用參數(shù)分離和構造函數(shù),求出導數(shù),判斷單調性,求得最大值即可得到所求范圍.

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