【題目】已知兩定點,,點是平面內(nèi)的動點,且,記的軌跡是.

1)求曲線的方程;

2)過點引直線交曲線兩點,點關(guān)于軸的對稱點為,證明直線過定點.

【答案】12)證明見解析

【解析】

1)設(shè),根據(jù)向量的坐標(biāo)運算并結(jié)合,代入化簡即可求得的軌跡是.

2)當(dāng)斜率為0時,直線即為軸,此時定點一定在軸上.當(dāng)斜率不為0時,設(shè)直線方程與,,聯(lián)立直線與橢圓方程,結(jié)合韋達(dá)定理表示出,進(jìn)而表示出直線.,化簡即可求得為定值,即可得所過定點的坐標(biāo).

設(shè),則,,,

所以,即.

故點,這兩點的距離之和為4,

,

由橢圓定義得曲線為橢圓且,

所以曲線.

2)若直線斜率為0,則直線即為軸,此時定點一定在軸上.

若直線斜率不為0,則可設(shè)直線,設(shè),

所以

故直線,

,

可得

所以直線恒過.

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