【題目】已知函數(shù)，，且與的圖象有一個斜率為1的公切線（為自然對數(shù)的底數(shù)）.

（1）求；

（2）設函數(shù)，討論函數(shù)的零點個數(shù).

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（1）由與的圖象有一個斜率為1的公切線，分別對與求導并求出切線方程，列出等量關系可得；

（2）利用換元將轉化為二次函數(shù)，分類討論對其單調性，對圖像特點進行分析，分情況討論出函數(shù)的零點個數(shù).

（1）可得.

在處的切線方程為，

即.

.

在處的切線方程為，

故

可得.

（2）由（1）可得，

，

令，則，

，

時，有兩根，

且，

，

得：，

在上，，

在上，，

此時，.

又時，時，.

故在和上，

各有1個零點.

時，

最小值為，故僅有1個零點.

時，.

其中，同，

在與上，

各有1個零點，

時，，僅在有1個零點，

時，對方程.

方程有兩個正根，.

在上，，在上，，在，.

由，可得，

故.

，

故.

故在上，，

在上，，

在上，有1個零點：.

時，恒成立，

為增函數(shù)，僅有1個零點：.

綜上，或時，有1個零點，

或時，有2個零點.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知兩定點，，點是平面內的動點，且，記的軌跡是.

（1）求曲線的方程；

（2）過點引直線交曲線于兩點，點關于軸的對稱點為，證明直線過定點.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】紅鈴蟲是棉花的主要害蟲之一，能對農作物造成嚴重傷害，每只紅鈴蟲的平均產卵數(shù)y和平均溫度x有關，現(xiàn)收集了以往某地的7組數(shù)據(jù)，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.（表中）

平均溫度

21

23

25

27

29

32

35

平均產卵數(shù)/個

7

11

21

24

66

115

325

27.429

81.286

3.612

40.182

147.714

（1）根據(jù)散點圖判斷，與（其中自然對數(shù)的底數(shù)）哪一個更適宜作為平均產卵數(shù)y關于平均溫度x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）并由判斷結果及表中數(shù)據(jù)，求出y關于x的回歸方程.（計算結果精確到小數(shù)點后第三位）

（2）根據(jù)以往統(tǒng)計，該地每年平均溫度達到28℃以上時紅鈴蟲會造成嚴重傷害，需要人工防治，其他情況均不需要人工防治記該地每年平均溫度達到28℃以上的概率為.

①記該地今后5年中，恰好需要3次人工防治的概率為，求的最大值，并求出相應的概率p.

②當取最大值時，記該地今后5年中，需要人工防治的次數(shù)為X，求X的數(shù)學期望和方差.

附：線性回歸方程系數(shù)公式.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率為，直線與橢圓的兩交點間距離為.

（1）求橢圓的方程；

（2）如圖，設是橢圓上的一動點，由原點向圓引兩條切線，分別交橢圓于點，若直線的斜率均存在，并分別記為，求證：為定值.

（3）在（2）的條件下，試問是否為定值？若是，求出該值；若不是，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設橢圓的離心率為，且經過點.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設直線與橢圓交兩點，是坐標原點，分別過點作，的平行線，兩平行線的交點剛好在橢圓上，判斷是否為定值？若為定值，求出該定值；若不是，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】坐標系與參數(shù)方程：在平面直角坐標系中，以原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，已知點的極坐標為，直線的極坐標方程為，且點在直線上

（Ⅰ）求的值和直線的直角坐標方程及的參數(shù)方程；

（Ⅱ）已知曲線的參數(shù)方程為，（為參數(shù)），直線與交于兩點，求的值

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）若不等式的解集為，求實數(shù)的值；

（2）若在（1）的條件下，存在實數(shù)，使成立，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】[2019·開封一模]已知數(shù)列中，，，利用下面程序框圖計算該數(shù)列的項時，若輸出的是2，則判斷框內的條件不可能是（ ）

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，若，，且.

（Ⅰ）求動點的軌跡的方程；

（Ⅱ）設（Ⅰ）中曲線的左、右頂點分別為、，過點的直線與曲線交于兩點，（不與，重合）.若直線與直線相交于點，試判斷點，，是否共線，并說明理由.

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