Question

【題目】設(shè)橢圓的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)直線與橢圓交兩點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，分別過點(diǎn)作，的平行線，兩平行線的交點(diǎn)剛好在橢圓上，判斷是否為定值？若為定值，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）是，6.

【解析】

（1）設(shè)橢圓的半焦距為，運(yùn)用橢圓的離心率公式，結(jié)合點(diǎn)在橢圓上，以及，求出，，，寫出橢圓方程即可；

（2）通過化簡(jiǎn)得，將問題轉(zhuǎn)化為求證是定值，然后分直線的斜率不存在與不存在兩種情況進(jìn)行討論：①斜率不存在時(shí)，利用橢圓的對(duì)稱性求出，坐標(biāo)，計(jì)算；②斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程消去，利用韋達(dá)定理表示出與，求出點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程化簡(jiǎn)得，計(jì)算與點(diǎn)到直線的距離，即可得到，綜合兩種情況即可得到結(jié)論.

（1）設(shè)橢圓的半焦距為，

橢圓的離心率為，

.①

又橢圓經(jīng)過點(diǎn)，

.②

結(jié)合，③

由①②③，解得.

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.

（2）

.

①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，不妨設(shè)，，

根據(jù)對(duì)稱性知兩平行線的交點(diǎn)在軸上，

又交點(diǎn)剛好在橢圓上，

交點(diǎn)為長(zhǎng)軸端點(diǎn)，則滿足條件的直線的方程是.

此時(shí)點(diǎn)，或，，

，

故；

②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，

設(shè)直線的方程為，，.

聯(lián)立方程，

消去得，

則，，，

，

不妨設(shè)兩平行線的交點(diǎn)為點(diǎn)，則，

故點(diǎn)的坐標(biāo)為，

點(diǎn)剛好在橢圓上，

，

即

此時(shí)，

則

，

設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則.

.

故.

綜上，為定值6.