【題目】已知橢圓經(jīng)過點M（﹣2，﹣1），離心率為．過點M作傾斜角互補的兩條直線分別與橢圓C交于異于M的另外兩點P、Q．

(Ⅰ)求橢圓C的方程；

（Ⅱ）試判斷直線PQ的斜率是否為定值，證明你的結論．

【答案】（1）（2）見解析

【解析】(1)由題設，得＝1，①且＝，②

由①、②解得a2＝6，b2＝3，故橢圓C的方程為＝1.

(2)設直線MP的斜率為k，則直線MQ的斜率為－k，

假設∠PMQ為直角，則k·(－k)＝－1，即k＝±1.

若k＝1，則直線MQ的方程為y＋1＝－(x＋2)，與橢圓C方程聯(lián)立，得x2＋4x＋4＝0，

該方程有兩個相等的實數(shù)根－2，不合題意；

同理，若k＝－1也不合題意．故∠PMQ不可能為直角．記P(x1，y1)、Q(x2，y2)．

設直線MP的方程為y＋1＝k(x＋2)，與橢圓C的方程聯(lián)立，得(1＋2k2)x2＋(8k2－4k)x＋8k2－8k－4＝0，

則－2，x1是該方程的兩根，則－2x1＝，即x1＝.

設直線MQ的方程為y＋1＝－k(x＋2)，同理得x2＝.

因y1＋1＝k(x1＋2)，y2＋1＝－k(x2＋2)，

故kPQ＝＝1，

因此直線PQ的斜率為定值．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù) ，給出以下四個命題：
① ，有 ；
② 且 ，有 ；
③ ，有 ；
④ ， .
其中所有真命題的序號是（ ）
A.①②
B.③④
C.①②③
D.①②③④

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【題目】在小明的婚禮上，為了活躍氣氛，主持人邀請10位客人做一個游戲.第一輪游戲中，主持人將標有數(shù)字1,2，…，10的十張相同的卡片放入一個不透明箱子中，讓客人依次去摸，摸到數(shù)字6,7，…，10的客人留下，其余的淘汰，第二輪放入1,2，…，5五張卡片，讓留下的客人依次去摸，摸到數(shù)字3,4,5的客人留下，第三輪放入1,2,3三張卡片，讓留下的客人依次去摸，摸到數(shù)字2,3的客人留下，同樣第四輪淘汰一位，最后留下的客人獲得小明準備的禮物.已知客人甲參加了該游戲.

（1）求甲拿到禮物的概率；

（2）設表示甲參加游戲的輪數(shù)，求的概率分布和數(shù)學期望.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，公園有一塊邊長為2的等邊△ABC的邊角地，現(xiàn)修成草坪，圖中DE把草坪分成面積相等的兩部分，D在AB上，E在AC上.

（1）設AD＝x（x≥1），ED＝y，求用x表示y的函數(shù)關系式；

（2）如果DE是灌溉水管，為節(jié)約成本，希望它最短，DE的位置應在哪里？如果DE是參觀線路，則希望它最長，DE的位置又應在哪里？請予證明.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)

（1）若，求曲線 在點處的切線方程；

（2）當時，討論函數(shù)的單調(diào)性。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】電視傳媒公司為了解某地區(qū)電視觀眾對某類體育節(jié)目的收視情況，隨機抽取了100名觀眾進行調(diào)查．下面是根據(jù)調(diào)查結果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時間的頻率分布直方圖：

非體育迷

體育迷

合計

男

女

10

55

合計

將日均收看該體育節(jié)目時間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”．

（1）根據(jù)已知條件完成上面的2×2列聯(lián)表，若按95%的可靠性要求，并據(jù)此資料，你是否認為“體育迷”與性別有關？

（2）現(xiàn)在從該地區(qū)非體育迷的電視觀眾中，采用分層抽樣方法選取5名觀眾，求從這5名觀眾選取兩人進行訪談，被抽取的2名觀眾中至少有一名女生的概率．

附：

P（K2≥k）

0.05

0.01

k

3.841

6.635

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖所示，在三棱柱中， 為正方形， 為菱形， .

（1）求證：平面⊥平面；

（2）若是中點，∠是二面角的平面角，求直線與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】共享單車的推廣給消費者帶來全新消費體驗，迅速贏得廣大消費者的青睞，然而，同時也暴露出管理、停放、服務等方面的問題，為了了解公眾對共享單車的態(tài)度（提倡或不提倡），某調(diào)查小組隨機地對不同年齡段50人進行調(diào)查，將調(diào)查情況整理如下表：

并且，年齡在和的人中持“提倡”態(tài)度的人數(shù)分別為5和3，現(xiàn)從這兩個年齡段中隨機抽取2人征求意見.

（Ⅰ）求年齡在中被抽到的2人都持“提倡”態(tài)度的概率；

（Ⅱ）求年齡在中被抽到的2人至少1人持“提倡”態(tài)度的概率.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某市根據(jù)地理位置劃分成了南北兩區(qū)，為調(diào)查該市的一種經(jīng)濟作物（下簡稱 作物）的生長狀況，用簡單隨機抽樣方法從該市調(diào)查了 500 處 作物種植點，其生長狀況如表：

其中生長指數(shù)的含義是：2 代表“生長良好”，1 代表“生長基本良好”，0 代表“不良好，但仍有收成”，﹣1代表“不良好，絕收”．

（1）估計該市空氣質(zhì)量差的作物種植點中，不絕收的種植點所占的比例；

（2）能否有 99%的把握認為“該市作物的種植點是否絕收與所在地域有關”？

（3）根據(jù)（2）的結論，能否提供更好的調(diào)查方法來估計該市作物的種植點中，絕收種植點的比例？請說明理由.

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