【題目】如圖所示,在三棱柱中, 為正方形, 為菱形, .

(1)求證:平面⊥平面

(2)若中點(diǎn),∠是二面角的平面角,求直線與平面所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析;(2) .

【解析】試題分析()連接BC1,可得B1C⊥面ABC1B1CAB,ABBB1,得ABBB1C1C.可得平面AA1B1B平面BB1C1C;(2)由ADB是二面角A-CC1-B的平面角,得C1BC為等邊三角形.分別以BA,BB1,BDxy,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,
不妨設(shè)AB=2,則A2,00),C1(0,1, )C(0,1,)利用向量法求解.

試題解析:(1)證明:連接BC1,因?yàn)?/span>BB1C1C為菱形,

所以B1CBC1,又B1CAC1,AC1∩BC1=C1,

所以B1C⊥面ABC1.B1CAB.

因?yàn)?/span>ABBB1,且BB1∩BC1,所以AB⊥面BB1C1C.

AB平面ABB1A1,所以平面AA1B1B⊥平面BB1C1C;

2)因?yàn)椤?/span>ADB是二面角ACC1B的平面角,

所以BDCC1,又DCC1中點(diǎn),

所以BD=BC1,所以△C1BC為等邊三角形.

如圖所示,分別以BA,BB1,BDxy,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

不妨設(shè)AB=2,則A2,0,0),C1(0,1 ),C(0,1,),則.

設(shè)是平面ABC的一個(gè)法向量,則,即,

z=1.

所以

所以直線AC1與平面ABC所成的正弦值為.

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