Question

【題目】已知函數(shù)

（1）若，求曲線 在點處的切線方程；

（2）當時，討論函數(shù)的單調(diào)性。

Answer 1

【答案】(1) (2) 當時， 在上單調(diào)遞增；

當時，單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為；

當時，單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為；

【解析】試題分析：（1）求出函數(shù)的導數(shù)，計算的值，利用點斜式求出切線方程即可；（2）求出，分三種情況討論的范圍，分別令求得 的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，令求得 的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間.

試題解析：（1）當時，，所以切線的斜率 ，

又在點處的切線方程為，

即。

（2），令，得或，

①當時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增；

②當時，，由，得或；由，得，

所以單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為；

③當時，，由，得或；由，得，

所以單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為；

綜上所述，當時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增；

當時，單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為；

當時，單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為；

【方法點晴】本題主要考查利用導數(shù)求曲線切線方程以及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題. 求曲線切線方程的一般步驟是：（1）求出在處的導數(shù)，即在點 出的切線斜率（當曲線在處的切線與軸平行時，在 處導數(shù)不存在，切線方程為）；（2）由點斜式求得切線方程.