【題目】如圖，已知的兩頂點(diǎn)坐標(biāo)，，圓是的內(nèi)切圓，在邊，，上的切點(diǎn)分別為，，，．

（Ⅰ）求證：為定值，并求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；

（Ⅱ）過的斜率不為零直線交曲線于、兩點(diǎn)，求證：為定值．

【答案】（Ⅰ）證明詳見解析，曲線的方程為；（Ⅱ）詳見解析．

【解析】

（Ⅰ）利用切線長相等可求得；根據(jù)橢圓定義可知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)，長軸長為的橢圓（不含橢圓與軸的交點(diǎn)），進(jìn)而求得結(jié)果；

（Ⅱ）設(shè)的方程為，與橢圓方程聯(lián)立得到韋達(dá)定理的形式，利用弦長公式求得，根據(jù)平面向量數(shù)量積運(yùn)算求得，進(jìn)而求得.

（Ⅰ）由題意得：，，

，

，

動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)，長軸長為的橢圓（不含橢圓與軸的交點(diǎn)），

設(shè)曲線方程為：，

則，解得：，又，，

曲線的方程為；

（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）得：，設(shè)，，

直線的斜率不為零，可設(shè)的方程為，

聯(lián)立消去并整理得：，

則，

，，

，

，

，，

綜上可得：為定值．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2020年是中國傳統(tǒng)的農(nóng)歷“鼠年”，有人用3個(gè)圓構(gòu)成“卡通鼠”的形象，如圖：是圓的圓心，圓過坐標(biāo)原點(diǎn)；點(diǎn)、均在軸上，圓與圓的半徑都等于2，圓圓均與圓外切．已知直線過點(diǎn)．

（1）若直線與圓、圓均相切，則截圓所得弦長為__________；

（2）若直線截圓、圓、圓所得弦長均等于，則__________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓、拋物線的焦點(diǎn)均在軸上，的中心和的頂點(diǎn)均為原點(diǎn)，從每條曲線上取兩個(gè)點(diǎn)，將其坐標(biāo)記錄于下表中：


3

2

4




0

4


（Ⅰ）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）請(qǐng)問是否存在直線滿足條件：①過的焦點(diǎn)；②與交不同兩點(diǎn)且滿足？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知件次品和件正品混放在一起，現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分，每次隨機(jī)檢測一件產(chǎn)品，檢測后不放回，直到檢測出件次品或者檢測出件正品時(shí)檢測結(jié)束．

（1）求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率；

（2）已知每檢測一件產(chǎn)品需要費(fèi)用元，設(shè)表示直到檢測出件次品或者檢測出件正品時(shí)所需要的檢測費(fèi)用（單位：元），求的分布列．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】近年電子商務(wù)蓬勃發(fā)展，現(xiàn)從某電子商務(wù)平臺(tái)評(píng)價(jià)系統(tǒng)中隨機(jī)選出200次成功交易，并對(duì)其評(píng)價(jià)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示：網(wǎng)購者對(duì)商品的滿意率為0.70，對(duì)快遞的滿意率為0.60，其中對(duì)商品和快遞都滿意的交易為80次.

（1）根據(jù)已知條件完成下面的2×2列聯(lián)表，并回答在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.10的前提下，能否認(rèn)為“網(wǎng)購者對(duì)商品滿意與對(duì)快遞滿意之間有關(guān)系”？

對(duì)快遞滿意

對(duì)快遞不滿意

合計(jì)

對(duì)商品滿意

80

對(duì)商品不滿意

合計(jì)

200

（2）為進(jìn)一步提高購物者的滿意度，平臺(tái)按分層抽樣方法從200次交易中抽取10次交易進(jìn)行問卷調(diào)查，詳細(xì)了解滿意與否的具體原因，并在這10次交易中再隨機(jī)抽取2次進(jìn)行電話回訪，聽取購物者意見.求電話回訪的2次交易至少有一次對(duì)商品和快遞都滿意的概率.

附：(其中為樣本容量)

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，，是C的左、右焦點(diǎn)，過的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，且的周長為．

（1）求C的方程；

（2）若，求l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】甲、乙、丙三人投籃的命中率各不相同，其中乙的命中率是甲的2倍，丙的命中率等于甲與乙的命中率之和.若甲與乙各投籃一次，每人投籃相互獨(dú)立，則他們都命中的概率為0.18.

（1）求甲、乙、丙三人投籃的命中率；

（2）現(xiàn)要求甲、乙、丙三人各投籃一次，假設(shè)每人投籃相互獨(dú)立，記三人命中總次數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)，，且、、成等差數(shù)列.

（1）求的頂點(diǎn)的軌跡方程；

（2）直線與頂點(diǎn)的軌跡交于兩點(diǎn)，當(dāng)線段的中點(diǎn)落在直線上時(shí)，試問：線段的垂直平分線是否恒過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為，曲線C的極坐標(biāo)方程為．

（Ⅰ）求直線l和曲線C的直角坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）點(diǎn)M為曲線C上一點(diǎn)，求M到直線l的最小距離．

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