【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,的頂點(diǎn),,且、、成等差數(shù)列.

1)求的頂點(diǎn)的軌跡方程;

2)直線與頂點(diǎn)的軌跡交于兩點(diǎn),當(dāng)線段的中點(diǎn)落在直線上時(shí),試問:線段的垂直平分線是否恒過定點(diǎn)?若過定點(diǎn),求出定點(diǎn)的坐標(biāo);若不過定點(diǎn),請說明理由.

【答案】12)恒過定點(diǎn);定點(diǎn)

【解析】

1)由正弦定理,結(jié)合橢圓定義,即可容易求得軌跡方程;

2)聯(lián)立直線方程和橢圓方程,由韋達(dá)定理求得中點(diǎn)的坐標(biāo),根據(jù)其縱坐標(biāo)為,即可求得的等量關(guān)系,再求出直線垂直平分線的方程,再求直線恒過的定點(diǎn)即可.

1)在中,,

根據(jù)正弦定理,可得,且

由橢圓定義,可知頂點(diǎn)的軌跡為中心在原點(diǎn),

為焦點(diǎn)的橢圓(不包括與軸交點(diǎn)).

,,

軌跡方程為.

2)設(shè),

,得

,

,

點(diǎn)落在直線上,

,

,,

線段的垂直平分線方程為,即,

線段的垂直平分線恒過定點(diǎn).

練習(xí)冊系列答案
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【題目】1970424日,我國發(fā)射了自己的第一顆人造地球衛(wèi)星“東方紅一號”,從此我國開始了人造衛(wèi)星的新篇章.人造地球衛(wèi)星繞地球運(yùn)行遵循開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律:衛(wèi)星在以地球?yàn)榻裹c(diǎn)的橢圓軌道上繞地球運(yùn)行時(shí),其運(yùn)行速度是變化的,速度的變化服從面積守恒規(guī)律,即衛(wèi)星的向徑(衛(wèi)星與地球的連線)在相同的時(shí)間內(nèi)掃過的面積相等.設(shè)橢圓的長軸長、焦距分別為,下列結(jié)論正確的是(

A.衛(wèi)星向徑的取值范圍是

B.衛(wèi)星在左半橢圓弧的運(yùn)行時(shí)間大于其在右半橢圓弧的運(yùn)行時(shí)間

C.衛(wèi)星向徑的最小值與最大值的比值越大,橢圓軌道越扁

D.衛(wèi)星運(yùn)行速度在近地點(diǎn)時(shí)最大,在遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)最小

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(Ⅰ)求證:為定值,并求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程;

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【題目】設(shè)函數(shù) .

(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)性;

(Ⅱ)若函數(shù)的極大值點(diǎn)為,證明:.

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【題目】設(shè)數(shù)列(任意項(xiàng)都不為零)的前項(xiàng)和為,首項(xiàng)為,對于任意,滿足.

1)數(shù)列的通項(xiàng)公式;

2)是否存在使得成等比數(shù)列,且成等差數(shù)列?若存在,試求的值;若不存在,請說明理由;

3)設(shè)數(shù)列,,若由的前項(xiàng)依次構(gòu)成的數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列,求正整數(shù)的最大值.

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【題目】在無窮數(shù)列中,,且,記的前n項(xiàng)和為.

1)若,求的值;

2)若,求的值;

3)證明:中必有一項(xiàng)為13.

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【題目】如圖,已知橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為右焦點(diǎn)為,右準(zhǔn)線l的方程為,過焦點(diǎn)F的直線與橢圓C相交于點(diǎn)AB(不與點(diǎn)重合).

1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

2)當(dāng)直線AB的傾斜角為45°時(shí),求弦AB的長;

3)設(shè)直線l于點(diǎn)M,求證:B,M三點(diǎn)共線.

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【題目】已知函數(shù)的極大值為,其中為自然對數(shù)的底數(shù).

1)求實(shí)數(shù)的值;

2)若函數(shù),對任意,恒成立.

i)求實(shí)數(shù)的取值范圍;

ii)證明:.

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【題目】我們知道,目前最常見的骰子是六面骰,它是一顆正立方體,上面分別有一到六個(gè)洞(或數(shù)字),其相對兩面之?dāng)?shù)字和必為七.顯然,擲一次六面骰,只能產(chǎn)生六個(gè)數(shù)之一(正上面).現(xiàn)欲要求你設(shè)計(jì)一個(gè)十進(jìn)制骰,使其擲一次能產(chǎn)生0~9這十個(gè)數(shù)之一,而且每個(gè)數(shù)字產(chǎn)生的可能性一樣.請問:你能設(shè)計(jì)出這樣的骰子嗎?若能,請寫出你的設(shè)計(jì)方案;若不能,寫出理由.

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