【題目】已知函數(shù)的極大值為,其中為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)求實(shí)數(shù)的值;
(2)若函數(shù),對任意,恒成立.
(i)求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(ii)證明:.
【答案】(1)(2)(i)(ii)證明見解析
【解析】
(1)求函數(shù)定義域,然后對函數(shù)求導(dǎo),根據(jù)函數(shù)單調(diào)性,得出時,有極大值,即可算出實(shí)數(shù)的值.
(2)(i)由(1)知,,代入中,根據(jù),整理至即對恒成立,設(shè)新函數(shù),將原問題轉(zhuǎn)化為:對恒成立,分的取值范圍分類討論即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.(ii)要證,
轉(zhuǎn)化為證證,整理至,設(shè)兩個新函數(shù),,分別對兩個新函數(shù)求導(dǎo),判斷單調(diào)性,即可證得成立.
解:(1)的定義域?yàn)?/span>,
,
令,解得:,
令,解得:,
所以當(dāng),為增函數(shù),當(dāng),為減函數(shù),
所以時,有極大值,
所以;
(2)(i)由(1)知,,
則,即對恒成立,
所以對恒成立,
即對恒成立,
設(shè),則對恒成立,
,
設(shè),,
原問題轉(zhuǎn)化為:對恒成立,
①若,當(dāng)時,
則,
不合題意;
②若,則對恒成立,
符合題意
③若,則,
令,,令,,
所以當(dāng)時,為減函數(shù),
當(dāng)時,為增函數(shù),
所以,
即,即;
綜上.
(ii)要證,
只需證,
即,即,
只需證,
設(shè),,
因?yàn)?/span>
所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
所以:
因?yàn)?/span>恒成立,
所以在上單調(diào)遞增,
所以,則,則,
由(2)可知,,所以;
所以,
即,得證.
所以 成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知件次品和件正品混放在一起,現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分,每次隨機(jī)檢測一件產(chǎn)品,檢測后不放回,直到檢測出件次品或者檢測出件正品時檢測結(jié)束.
(1)求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率;
(2)已知每檢測一件產(chǎn)品需要費(fèi)用元,設(shè)表示直到檢測出件次品或者檢測出件正品時所需要的檢測費(fèi)用(單位:元),求的分布列.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,的頂點(diǎn),,且、、成等差數(shù)列.
(1)求的頂點(diǎn)的軌跡方程;
(2)直線與頂點(diǎn)的軌跡交于兩點(diǎn),當(dāng)線段的中點(diǎn)落在直線上時,試問:線段的垂直平分線是否恒過定點(diǎn)?若過定點(diǎn),求出定點(diǎn)的坐標(biāo);若不過定點(diǎn),請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著,它在幾何學(xué)中的研究比西方早1000多年,在《九章算術(shù)》中,將底面為直角三角形,且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為塹堵(qian du);陽馬指底面為矩形,一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐,鱉膈(bie nao)指四個面均為直角三角形的四面體.如圖在塹堵中,,.給出下列四個結(jié)論:
①四棱錐為陽馬;
②直線與平面所成角為;
③當(dāng)時,異面直線與所成的角的余弦值為;
④當(dāng)三棱錐體積最大時,四棱錐的外接球的表面積為.
其中,所有正確結(jié)論的序號是______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校為了解校園安全教育系列活動的成效,對全校學(xué)生進(jìn)行了一次安全意識測試,根據(jù)測試成績評定“合格”“不合格”兩個等級,同時對相應(yīng)等級進(jìn)行量化:“合格”記5分,“不合格”記0分.現(xiàn)隨機(jī)抽取部分學(xué)生的答卷,統(tǒng)計(jì)結(jié)果及對應(yīng)的頻率分布直方圖如下:
等級 | 不合格 | 合格 | ||
得分 | ||||
頻數(shù) | 6 | a | 24 | b |
(1)由該題中頻率分布直方圖求測試成績的平均數(shù)和中位數(shù);
(2)其他條件不變在評定等級為“合格”的學(xué)生中依次抽取2人進(jìn)行座談,每次抽取1人,求在第1次抽取的測試得分低于80分的前提下,第2次抽取的測試得分仍低于80分的概率;
(3)用分層抽樣的方法,從評定等級為“合格”和“不合格”的學(xué)生中抽取10人進(jìn)行座談.現(xiàn)再從這10人中任選4人,記所選4人的量化總分為,求的數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩地相距300千米,汽車從甲地勻速行駛到乙地,速度不超過100千米/小時,已知汽車每小時的運(yùn)輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成,可變部分與速度(千米/小時)的平方成正比,比例系數(shù)為(),固定部分為1000元.
(1)把全程運(yùn)輸成本(元)表示為速度(千米/小時)的函數(shù),并指出這個函數(shù)的定義域;
(2)為了使全程運(yùn)輸成本最小,汽車應(yīng)以多大速度行駛?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程為,曲線C的極坐標(biāo)方程為.
(Ⅰ)求直線l和曲線C的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)點(diǎn)M為曲線C上一點(diǎn),求M到直線l的最小距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義:若一個函數(shù)存在極大值,且該極大值為負(fù)數(shù),則稱這個函數(shù)為“函數(shù)”.
(1)判斷函數(shù)是否為“函數(shù)”,并說明理由;
(2)若函數(shù)是“函數(shù)”,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)已知,,、,求證:當(dāng),且時,函數(shù)是“函數(shù)”.
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