【題目】《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著,它在幾何學(xué)中的研究比西方早1000多年,在《九章算術(shù)》中,將底面為直角三角形,且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為塹堵(qian du);陽(yáng)馬指底面為矩形,一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐,鱉膈(bie nao)指四個(gè)面均為直角三角形的四面體.如圖在塹堵中,,.給出下列四個(gè)結(jié)論:

①四棱錐為陽(yáng)馬;

②直線與平面所成角為;

③當(dāng)時(shí),異面直線所成的角的余弦值為;

④當(dāng)三棱錐體積最大時(shí),四棱錐的外接球的表面積為.

其中,所有正確結(jié)論的序號(hào)是______.

【答案】①③④

【解析】

對(duì)于①,由塹堵的性質(zhì)得,則可證平面,即四棱錐為陽(yáng)馬;

對(duì)于②,可知為直線與平面所成角,通過分析②不正確;

對(duì)于③,可知為異面直線所成的角(或補(bǔ)角),由余弦定理得其余弦值為;

對(duì)于④,三棱錐體積為,由基本不等式可知時(shí),最大,故可將三棱柱補(bǔ)成長(zhǎng)方體,則長(zhǎng)方體的外接球與四棱錐的外接球?yàn)橥粋(gè)球,從而可求出四棱錐的外接球的表面積.

對(duì)于①,因?yàn)樵谌庵?/span>中,平面,∴,又,∴平面,即四棱錐為陽(yáng)馬;故①正確;

對(duì)于②,由①可知平面,∴為直線與平面所成角,

假如,則為等腰直角三角形,所以,這與在矛盾;故②不正確;

對(duì)于③,當(dāng)時(shí),,,,

,∴為異面直線所成的角(或補(bǔ)角),

中,,故③正確;

對(duì)于④,三棱錐體積為

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取“”,現(xiàn)將三棱柱補(bǔ)成長(zhǎng)方體

則長(zhǎng)方體的外接球與四棱錐的外接球?yàn)橥粋(gè)球,

所以球的直徑,所以,故④正確.

故答案為:①③④

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】我國(guó)全面二孩政策已于201611日起正式實(shí)施.國(guó)家統(tǒng)計(jì)局發(fā)布的數(shù)據(jù)顯示,從2012年到2017年,中國(guó)的人口自然增長(zhǎng)率變化始終不大,在5‰上下波動(dòng)(如圖).

為了了解年齡介于24歲至50歲之間的適孕夫妻對(duì)生育二孩的態(tài)度如何,統(tǒng)計(jì)部門按年齡分為9組,每組選取150對(duì)夫妻進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)有生育二孩意愿的夫妻數(shù),得到下表:

年齡區(qū)間

有意愿數(shù)

80

81

87

86

84

83

83

70

66

1)設(shè)每個(gè)年齡區(qū)間的中間值為,有意愿數(shù)為,求樣本數(shù)據(jù)的線性回歸直線方程,并求該模型的相關(guān)系數(shù)(結(jié)果保留兩位小數(shù));

2)從,,這五個(gè)年齡段中各選出一對(duì)夫妻(能代表該年齡段超過半數(shù)夫妻的意愿)進(jìn)一步調(diào)研,再?gòu)倪@5對(duì)夫妻中任選2對(duì)夫妻.求其中恰有一對(duì)不愿意生育二孩的夫妻的概率.

(參考數(shù)據(jù)和公式:,,,

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè)函數(shù) .

(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)性;

(Ⅱ)若函數(shù)的極大值點(diǎn)為,證明:.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在無窮數(shù)列中,,且,記的前n項(xiàng)和為.

1)若,求的值;

2)若,求的值;

3)證明:中必有一項(xiàng)為13.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,已知橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為右焦點(diǎn)為,右準(zhǔn)線l的方程為,過焦點(diǎn)F的直線與橢圓C相交于點(diǎn)A,B(不與點(diǎn)重合).

1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

2)當(dāng)直線AB的傾斜角為45°時(shí),求弦AB的長(zhǎng);

3)設(shè)直線l于點(diǎn)M,求證:B,,M三點(diǎn)共線.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】拋物線的焦點(diǎn)為F ,已知點(diǎn)A ,B 為拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且滿足.過弦AB 的中點(diǎn)M 作拋物線準(zhǔn)線的垂線MN ,垂足為N,則 的最大值為__________

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)的極大值為,其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

1)求實(shí)數(shù)的值;

2)若函數(shù),對(duì)任意,恒成立.

i)求實(shí)數(shù)的取值范圍;

ii)證明:.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,點(diǎn)分別為橢圓的左右頂點(diǎn)和右焦點(diǎn),過點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn).

1)若,點(diǎn)與橢圓左準(zhǔn)線的距離為,求橢圓的方程;

2)已知直線的斜率是直線斜率的倍.

①求橢圓的離心率;

②若橢圓的焦距為,求面積的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知四棱錐PABCD的三視圖如下圖所示,E是側(cè)棱PC上的動(dòng)點(diǎn).

1)求證:BD⊥AE

2)若點(diǎn)EPC的中點(diǎn),求二面角DAEB的大小.

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