【題目】如圖,已知橢圓,橢圓的長軸長為8,離心率為.
求橢圓方程;
橢圓內(nèi)接四邊形ABCD的對(duì)角線交于原點(diǎn),且,求四邊形ABCD周長的最大值與最小值.
【答案】(1); (2)四邊形ABCD的周長的最小值為,最大值為20..
【解析】
(1)由題意可得a=4,運(yùn)用離心率公式可得c,再由a,b,c的關(guān)系可得b,進(jìn)而得到橢圓方程;
(2)由題意的對(duì)稱性可得四邊形ABCD為平行四邊形,運(yùn)用向量的數(shù)量積的性質(zhì),可得22,即有四邊形ABCD為菱形,即有AC⊥BD,討論直線AC的斜率為0,可得最大值;不為0,設(shè)出直線AC的方程為y=kx,(k>0),則BD的方程為yx,代入橢圓方程,求得A,D的坐標(biāo),運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式,化簡整理,由二次函數(shù)的最值求法,可得最小值.
由題意可得,即,
由,可得,,
即有橢圓的方程為;
由題意的對(duì)稱性可得四邊形ABCD為平行四邊形,
由,可得,
即,
可得,即有四邊形ABCD為菱形,
即有,
設(shè)直線AC的方程為,,則BD的方程為,
代入橢圓方程可得,
可設(shè),
同理可得,
即有
,
令,
即有,
由,
即有,即時(shí),取得最小值,且為;
又當(dāng)AC的斜率為0時(shí),BD為短軸,即有ABCD的周長取得最大值,且為20.
綜上可得四邊形ABCD的周長的最小值為,最大值為20.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列命題正確的是( )
A.復(fù)數(shù)z1,z2的模相等,則z1,z2是共軛復(fù)數(shù)
B.z1,z2都是復(fù)數(shù),若z1+z2是虛數(shù),則z1不是z2的共軛復(fù)數(shù)
C.復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù)的充要條件是z=(是z的共軛復(fù)數(shù))
D.已知復(fù)數(shù)z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-2i(i是虛數(shù)單位),它們對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A,B,C,O為坐標(biāo)原點(diǎn),若(x,y∈R),則x+y=1
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C的離心率為,且經(jīng)過點(diǎn)M(1,),過點(diǎn)P(2,1)的直線l與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)A,B.
(1)求橢圓C的方程;
(2)是否存在直線l,滿足?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某高級(jí)中學(xué)今年高一年級(jí)招收“國際班”學(xué)生人,學(xué)校為這些學(xué)生開辟了直升海外一流大學(xué)的綠色通道,為了逐步提高這些學(xué)生與國際教育接軌的能力,將這人分為三個(gè)批次參加國際教育研修培訓(xùn),在這三個(gè)批次的學(xué)生中男、女學(xué)生人數(shù)如下表:
第一批次 | 第二批次 | 第三批次 | |
女 | |||
男 |
已知在這名學(xué)生中隨機(jī)抽取名,抽到第一批次、第二批次中女學(xué)生的概率分別是.
(1)求的值;
(2)為了檢驗(yàn)研修的效果,現(xiàn)從三個(gè)批次中按分層抽樣的方法抽取名同學(xué)問卷調(diào)查,則三個(gè)批次被選取的人數(shù)分別是多少?
(3)若從第(2)小問選取的學(xué)生中隨機(jī)選出兩名學(xué)生進(jìn)行訪談,求“參加訪談的兩名同學(xué)至少有一個(gè)人來自第一批次”的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列和滿足,,,.
(1)證明:是等比數(shù)列,是等差數(shù)列;
(2)求和的通項(xiàng)公式;
(3)令,求數(shù)列的前項(xiàng)和的通項(xiàng)公式,并求數(shù)列的最大值、最小值,并指出分別是第幾項(xiàng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)和動(dòng)點(diǎn),以線段為直徑的圓內(nèi)切于圓.
(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程;
(2)已知點(diǎn), ,經(jīng)過點(diǎn)的直線與動(dòng)點(diǎn)的軌跡交于, 兩點(diǎn),求證:直線與直線的斜率之和為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4—4:極坐標(biāo)與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中,將曲線 (為參數(shù)) 上任意一點(diǎn)經(jīng)過伸縮變換后得到曲線的圖形.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸,取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系,已知直線.
(Ⅰ)求曲線和直線的普通方程;
(Ⅱ)點(diǎn)P為曲線上的任意一點(diǎn),求點(diǎn)P到直線的距離的最大值及取得最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某中學(xué)為了解高一學(xué)生的視力健康狀況,在高一年級(jí)體檢活動(dòng)中采用統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)對(duì)數(shù)視力表,按照《中國學(xué)生體質(zhì)健康監(jiān)測(cè)工作手冊(cè)》的方法對(duì)1039名學(xué)生進(jìn)行了視力檢測(cè),判斷標(biāo)準(zhǔn)為:雙眼裸眼視力為視力正常, 為視力低下,其中為輕度, 為中度, 為重度.統(tǒng)計(jì)檢測(cè)結(jié)果后得到如圖所示的柱狀圖.
(1)求該校高一年級(jí)輕度近視患病率;
(2)根據(jù)保護(hù)視力的需要,需通知檢查結(jié)果為“重度近視”學(xué)生的家長帶孩子去醫(yī)院眼科進(jìn)一步檢查和確診,并開展相應(yīng)的矯治,則該校高一年級(jí)需通知的家長人數(shù)約為多少人?
(3)若某班級(jí)6名學(xué)生中有2人為視力正常,則從這6名學(xué)生中任選2人,恰有1人視力正常的概率是多少?
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