【題目】已知函數(shù).
(1)若曲線在點(diǎn)處的切線方程為,求的值;
(2)若的導(dǎo)函數(shù)存在兩個(gè)不相等的零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)當(dāng)時(shí),是否存在整數(shù),使得關(guān)于的不等式恒成立?若存在,求出的最大值;若不存在,說(shuō)明理由.
【答案】(1);(2);(3)存在,最大值為.
【解析】
(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),由題意得出從而可求出實(shí)數(shù)的值;
(2)令,可得知函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn),分和兩種情況討論,利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性和極值,由題意轉(zhuǎn)化為函數(shù)極值相關(guān)的不等式,解出即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)將代入函數(shù)的解析式得出,對(duì)該函數(shù)求導(dǎo)得出,構(gòu)造函數(shù),利用單調(diào)性結(jié)合零點(diǎn)存在定理找出函數(shù)的極小值點(diǎn),并滿足,結(jié)合此關(guān)系式計(jì)算得出,從而可得出整數(shù)的最大值.
(1),
因?yàn)榍在點(diǎn)處的切線方程為,
所以,得;
(2)因?yàn)?/span>存在兩個(gè)不相等的零點(diǎn).
所以存在兩個(gè)不相等的零點(diǎn),則.
①當(dāng)時(shí),,所以單調(diào)遞增,至多有一個(gè)零點(diǎn)
②當(dāng)時(shí),因?yàn)楫?dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,
所以時(shí),.
因?yàn)?/span>存在兩個(gè)零點(diǎn),所以,解得.
因?yàn)?/span>,所以.
因?yàn)?/span>,所以在上存在一個(gè)零點(diǎn).
因?yàn)?/span>,所以.
因?yàn)?/span>,設(shè),則,
因?yàn)?/span>,所以單調(diào)遞減,
所以,所以,
所以在上存在一個(gè)零點(diǎn).
綜上可知,實(shí)數(shù)的取值范圍為;
(3)當(dāng)時(shí),,,
設(shè),則.所以單調(diào)遞增,
且,,所以存在使得,
因?yàn)楫?dāng)時(shí),,即,所以單調(diào)遞減;
當(dāng)時(shí),,即,所以單調(diào)遞增,
所以時(shí),取得極小值,也是最小值,
此時(shí),
因?yàn)?/span>,所以,
因?yàn)?/span>,且為整數(shù),所以,即的最大值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,E是CD的中點(diǎn),將△ADE沿AE折起,得到如圖2所示的四棱錐D1—ABCE,其中平面D1AE⊥平面ABCE.
(1)證明:BE⊥平面D1AE;
(2)設(shè)F為CD1的中點(diǎn),在線段AB上是否存在一點(diǎn)M,使得MF∥平面D1AE,若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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【題目】如圖,設(shè)橢圓兩頂點(diǎn),短軸長(zhǎng)為4,焦距為2,過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn).設(shè)直線與直線交于點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)求線段中點(diǎn)的軌跡方程;
(3)求證:點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=lg ,f(1)=0,當(dāng)x>0時(shí),恒有f(x)=lgx.
(1)若不等式f(x)≤lgt的解集為A,且A(0,4],求實(shí)數(shù)t的取值范圍;
(2)若方程f(x)=lg(8x+m)的解集為,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,橢圓:,點(diǎn)在橢圓上,過(guò)點(diǎn)作圓的切線,其切線長(zhǎng)為橢圓的短軸長(zhǎng).
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為,點(diǎn)在橢圓上,且,直線與軸交于點(diǎn).設(shè)直線,的斜率分別為,,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】“總把新桃換舊符”(王安石)、“燈前小草寫桃符”(陸游),春節(jié)是中華民族的傳統(tǒng)節(jié)日,在宋代人們用寫“桃符”的方式來(lái)祈福避禍,而現(xiàn)代人們通過(guò)貼“!弊、貼春聯(lián)、掛燈籠等方式來(lái)表達(dá)對(duì)新年的美好祝愿,某商家在春節(jié)前開展商品促銷活動(dòng),顧客凡購(gòu)物金額滿50元,則可以從“福”字、春聯(lián)和燈籠這三類禮品中任意免費(fèi)領(lǐng)取一件,若有4名顧客都領(lǐng)取一件禮品,則他們中有且僅有2人領(lǐng)取的禮品種類相同的概率是( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】函數(shù)對(duì)任意的滿足:,當(dāng)時(shí),
(1)求出函數(shù)在R上零點(diǎn);
(2)求滿足不等式的實(shí)數(shù)的范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓:的離心率為,點(diǎn)A為該橢圓的左頂點(diǎn),過(guò)右焦點(diǎn)的直線l與橢圓交于B,C兩點(diǎn),當(dāng)軸時(shí),三角形ABC的面積為18.
求橢圓的方程;
如圖,當(dāng)動(dòng)直線BC斜率存在且不為0時(shí),直線分別交直線AB,AC于點(diǎn)M、N,問(wèn)x軸上是否存在點(diǎn)P,使得,若存在求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在說(shuō)明理由.
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