【題目】如圖,已知圓的方程為,過(guò)點(diǎn)的直線與圓交于點(diǎn),與軸交于點(diǎn),設(shè),求證:為定值.
【答案】見(jiàn)解析.
【解析】
先討論當(dāng)AB與x軸垂直時(shí),此時(shí)點(diǎn)Q與點(diǎn)O重合,從而λ=2,μ=,λ+μ=;在討論AB存在斜率時(shí),:=.
證明:當(dāng)AB與x軸垂直時(shí),此時(shí)點(diǎn)Q與點(diǎn)O重合,
從而λ=2,μ=,λ+μ=;
當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)O不重合時(shí),直線AB的斜率存在;
設(shè)直線AB的方程為y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),
則Q(﹣,0);
由題設(shè),得x1+=λx1,x2+=μx2,
即λ=1+,μ=1+;
所以λ+μ=(1+)+(1+)=2+;
將y=kx+1代入x2+y2=4,得(1+k2)x2+2kx﹣3=0,
則△>0,x1+x2=﹣,x1x2=﹣,
所以λ+μ=2+;
綜上,λ+μ為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),P為雙曲線 ﹣y2=1(a>0)上一點(diǎn),過(guò)P作兩條漸近線的平行線交點(diǎn)分別為A,B,若平行四邊形OAPB的面積為 ,則雙曲線的離心率為( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=x2+ax+b,a,b∈R.
(1)若2a+b=4,證明:|f(x)|在區(qū)間[0,4]上的最大值M(a)≥12;
(2)存在實(shí)數(shù)a,使得當(dāng)x∈[0,b]時(shí),1≤f(x)≤10恒成立,求實(shí)數(shù)b的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓 的右準(zhǔn)線方程為,又離心率為,橢圓的左頂點(diǎn)為,上頂點(diǎn)為,點(diǎn)為橢圓上異于任意一點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)若直線與軸交于點(diǎn),直線與軸交于點(diǎn),求證: 為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列中,.若對(duì)于任意的,不等式恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍為
A. B.
C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知為圓上的動(dòng)點(diǎn), 的坐標(biāo)為, 在線段的中點(diǎn).
(Ⅰ)求的軌跡的方程.
(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn),且,求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC和△ACD中,∠ACB=∠ADC=90°,∠BAC=∠CAD,⊙O是以AB為直徑的圓,DC的延長(zhǎng)線與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E.
(Ⅰ)求證:DC是⊙O的切線;
(Ⅱ)若EB=6,EC=6 ,求BC的長(zhǎng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓C: =1的離心率e= ,動(dòng)點(diǎn)P在橢圓C上,點(diǎn)P到橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和是4.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)若橢圓C1的方程為 =1(m>n>0),橢圓C2的方程為 =λ(λ>0,且λ≠1),則稱橢圓C2是橢圓C1的λ倍相似橢圓.已知橢圓C2是橢圓C的3倍相似橢圓.若過(guò)橢圓C上動(dòng)點(diǎn)P的切線l交橢圓C2于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),試證明當(dāng)切線l變化時(shí)|PA|=|PB|并研究△OAB面積的變化情況.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的一條切線,切點(diǎn)為B,直線ADE、CFD、CGE都是⊙O的割線,已知AC=AB.
(1)若CG=1,CD=4.求 的值.
(2)求證:FG∥AC.
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