Question

【題目】設函數(shù)f（x）=x2+ax+b，a，b∈R．
（1）若2a+b=4，證明：|f（x）|在區(qū)間[0，4]上的最大值M（a）≥12；
（2）存在實數(shù)a，使得當x∈[0，b]時，1≤f（x）≤10恒成立，求實數(shù)b的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵2a+b=4，

∴f（x）=x2+ax+b=x2+ax+4﹣2a= ，

當 ，即a≥0時，f（x）在[0，4]上為增函數(shù)，f（x）∈[﹣2a+4，2a+20]，

|f（x）|的最大值為M（a）=2a+20；

當 ，即a≤﹣8時，f（x）在[0，4]上為減函數(shù)，f（x）∈[2a+20，﹣2a+4]，

此時﹣2a+4＞|2a+20|，|f（x）|的最大值為M（a）=﹣2a+4；

當0 ，即﹣4≤a＜0時，f（x）在[0，4]上的最小值為 ，

f（x）在[0，4]上的最大值為f（4）=2a+20，

∵2a+20≥12，4＜ ，

∴|f（x）|在區(qū)間[0，4]上的最大值M（a）=2a+20；

當 ，即﹣8＜a＜﹣4時，f（x）在[0，4]上的最小值為 ，

f（x）在[0，4]上的最大值為f（0）=﹣2a+4，

∵﹣2a+4＞12，4＜ ，

∴|f（x）|在區(qū)間[0，4]上的最大值M（a）=﹣2a+4．

∴M（a）= ，則M（a）≥12；

（2）解：f（x）=x2+ax+b的對稱軸為x= ．

①若a≥0，則 ≤0，∴f（x）在[0，b）上單調(diào)遞增，

∴ ．

由b2+ab+b≤10，得 ≥a≥0，

解不等式組 ，得1 ．

②若0＜ ＜ ，即﹣b＜a＜0時，f（x）在[0， ]上單調(diào)遞減，在（﹣ ，b]單調(diào)遞增，

∴ ．

∴ ，即 ，得1＜b＜10．

③若0＜ ＜b，即﹣2b＜a＜﹣b＜0時，f（x）在[0， ]單調(diào)遞減，在（ ，b]單調(diào)遞增，

∴ ，即 ，則1＜b≤10．

④若 ≥b，即a≤﹣2b時，f（x）在[0，b）上單調(diào)遞減，

∴ ，

∴ ，即 ，則b∈．

綜上，b的取值范圍是[1，10]，b的最大值為10．

【解析】（1）把2a+b=4代入函數(shù)解析式，利用f（x）的對稱軸為進行分類，求出f（x）在[0，4]上的最值，進一步求得|f（x）|在區(qū)間[0，4]上的最大值．由最大值的最小值為12證得答案；（2）f（x）的對稱軸為x=﹣ ，根據(jù)對稱軸與區(qū)間[0，b]的關(guān)系分情況討論f（x）的單調(diào)性，求出最值，根據(jù)1≤f（x）≤10列出不等式組，化簡得出b的取值范圍，從而得到實數(shù)b的最大值．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握當時，拋物線開口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減．