Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，AD=PD=2，PA=2 ，∠PDC=120°，點E為線段PC的中點，點F在線段AB上．

（1）若AF= ，求證：CD⊥EF；
（2）設(shè)平面DEF與平面DPA所成二面角的平面角為θ，試確定點F的位置，使得cosθ= ．

Answer 1

【答案】
（1）證明：在△PCD中，PD=CD=2，

∵E為PC的中點，∴DE平分∠PDC，∠PDE=60°，

∴在Rt△PDE中，DE=PDcos60°=1，

過E作EH⊥CD于H，則 ，連結(jié)FH，

∵ ，∴四邊形AFHD是矩形，

∴CD⊥FH，又CD⊥EH，F(xiàn)H∩EH=H，∴CD⊥平面EFH，

又EF平面EFH，∴CD⊥EF．

（2）解：∵AD=PD=2， ，∴AD⊥PD，又AD⊥DC，

∴AD⊥平面PCD，

又AD平面ABCD，∴平面PCD⊥平面ABCD．

過D作DG⊥DC交PC于點G，則由平面PCD⊥平面ABCD知，DG⊥平面ABCD，

故DA，DC，DG兩兩垂直，以D為原點，以DA，DC，DG所在直線分別為x，y，z軸，

建立如圖所示空間直角坐標系O﹣xyz，

則A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0）， ，

又知E為PC的中點，E ，設(shè)F（2，t，0），

則 ， ， ， ．

設(shè)平面DEF的法向量為 =（x1，y1，z1），

則 ，∴ ，

取z1=﹣2，得平面DEF的一個法向量 ，

設(shè)平面ADP的法向量為 =（x2，y2，z2），

則 ，∴ ，

取z2=1，得 ．

∴ ，解得 ，

∴當 時，滿足 ．

【解析】（1）過E作EH⊥CD于H，連結(jié)FH，推導(dǎo)出四邊形AFHD是矩形，由此能證明CD⊥F．（2）過D作DG⊥DC交PC于點G，以D為原點，以DA，DC，DG所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系O﹣xyz，利用向量法能求出當 時，滿足 ．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解空間中直線與直線之間的位置關(guān)系的相關(guān)知識，掌握相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點．