【題目】如圖,拋物線y= x(x﹣k)經(jīng)過原點(diǎn)O,交x軸正半軸于A,過A的直線交拋物線于另一點(diǎn)B,AB交y軸正半軸于C,且OC=OA,B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為9

(1)求拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)P為第一象限的拋物線上一點(diǎn),連接PB、PC,設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m,△PBC的面積為S,求S與m的函數(shù)關(guān)系式;
(3)在(2)的條件下,連接OP、AP,若∠APO=45°,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】
(1)

解:如圖1中,作BH⊥x軸于H.

由題意OC=OA=K,∠AOC=90°,

∴∠OAC=∠OCA=45°,

∵∠BHA=90°,

∴∠HBA=∠HAB=45°,

∴BH=AH=9,

∴OH=9﹣k,

∴B(k﹣9,9),

把B(k﹣9,9)代入y= x(x﹣k),

得到9= (k﹣9)×(﹣9),

∴k=5,

∴拋物線的解析式為y= x(x﹣5).


(2)

解:如圖2中,作BH⊥x軸于H,連接OP、PH、PA.設(shè)P[m, m(m﹣5)].

∵P(﹣4,9),A(5,0),C(0,5),

∴SPBC=SPAB﹣SPCA=(SPBH+SPHA﹣SABH)﹣(SPCO+SPOA﹣SAOC

= ×9×(m+4)+ ×9× m(m﹣5)﹣ ×9×9﹣[ ×5×m+ ×5× m(m﹣5)﹣ ×5×5]

= m2﹣m﹣10(m>5).


(3)

解:如圖3中設(shè)AC交OP于D,AC的中點(diǎn)為K,連接PK.

∵∠DPA=∠DCO=45°,∠PDA=CDO,

∴△PDA∽△CDO,

= ,

= ,∵∠CDP=∠ODP,

∴△CDP∽△ODA,

∴∠CPD=∠OAD=45°,

∴∠CPA=90°,

∵CK=KA,

∴PK= AC= ,

設(shè)P[m, m(m﹣5)],

∵K( , ),

∴(m﹣ 2+[ m(m﹣5)﹣ ]2=( 2,

整理得m(m﹣5)(m2﹣5m﹣4)=0,

∴m=0或5或 ,

∵m>5,

∴m= ,

∴P( ,1).


【解析】(1)如圖1中,作BH⊥x軸于H.由題意OC=OA=K,∠AOC=90°,推出∠OAC=∠OCA=45°,由∠BHA=90°,推出∠HBA=∠HAB=45°,推出BH=AH=9,推出OH=9﹣k,推出B(k﹣9,9),把B(k﹣9,9)代入y= x(x﹣k),解方程即可.(2)如圖2中,作BH⊥x軸于H,連接OP、PH、PA.設(shè)P[m, m(m﹣5)].根據(jù)SPBC=SPAB﹣SPCA=(SPBH+SPHA﹣SABH)﹣(SPCO+SPOA﹣SAOC)計(jì)算即可.(3)如圖3中設(shè)AC交OP于D,AC的中點(diǎn)為K,連接PK.只要證明∠CPA=90°,根據(jù)PK= ,利用兩點(diǎn)間距離公式,列出方程,解方程即可解決問題.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了等腰直角三角形和函數(shù)關(guān)系式的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形;等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等且等于45°;用來表示函數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)式子叫做函數(shù)解析式或函數(shù)關(guān)系式才能正確解答此題.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

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【題目】如圖1,正方形ABCD與正方形AEFG的邊AB、AE(AB<AE)在一條直線上,正方形AEFG以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α.在旋轉(zhuǎn)過程中,兩個(gè)正方形只有點(diǎn)A重合,其它頂點(diǎn)均不重合,連接BE、DG.
(1)當(dāng)正方形AEFG旋轉(zhuǎn)至如圖2所示的位置時(shí),求證:BE=DG;
(2)如圖3,如果α=45°,AB=2,AE=4 ,求點(diǎn)G到BE的距離.

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【題目】威麗商場銷售A,B兩種商品,售出1件A種商品和4件B種商品所得利潤為600元,售出3件A種商品和5件B種商品所得利潤為1100元.
(1)求每件A種商品和每件B種商品售出后所得利潤分別為多少元;
(2)由于需求量大,A、B兩種商品很快售完,威麗商場決定再一次購進(jìn)A、B兩種商品共34件.如果將這34件商品全部售完后所得利潤不低于4000元,那么威麗商場至少需購進(jìn)多少件A種商品?

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【題目】如圖,在一條筆直的東西向海岸線l上有一長為1.5km的碼頭MN和燈塔C,燈塔C距碼頭的東端N有20km.一輪船以36km/h的速度航行,上午10:00在A處測得燈塔C位于輪船的北偏西30°方向,上午10:40在B處測得燈塔C位于輪船的北偏東60°方向,且與燈塔C相距12km.

(1)若輪船照此速度與航向航行,何時(shí)到達(dá)海岸線?
(2)若輪船不改變航向,該輪船能否停靠在碼頭?請說明理由.(參考數(shù)據(jù): ≈1.4, ≈1.7)

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【題目】圖1、圖2是兩張形狀大小完全相同的方格紙,方格紙中的每個(gè)小正方形的邊長均為1,線段AB、EF的端點(diǎn)均在小正方形的頂點(diǎn)上.
(1)如圖1,作出以AB為對角線的正方形并直接寫出正方形的周長;
(2)如圖2,以線段EF為一邊作出等腰△EFG(點(diǎn)G在小正方形頂點(diǎn)處)且頂角為鈍角,并使其面積等于4.

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【題目】拋物線y=ax2+bx+3(a≠0)過A(4,4),B(2,m)兩點(diǎn),點(diǎn)B到拋物線對稱軸的距離記為d,滿足0<d≤1,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(
A.m≤2或m≥3
B.m≤3或m≥4
C.2<m<3
D.3<m<4

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)y=2+
(1)寫出自變量x的取值范圍:;
(2)請通過列表,描點(diǎn),連線畫出這個(gè)函數(shù)的圖象: ①列表:

x

﹣8

﹣4

﹣3

﹣2

﹣1

1

2

3

4

8

y

1

0

﹣2

﹣6

10

6

4

3

②描點(diǎn)(在下面給出的直角坐標(biāo)系中補(bǔ)全表中對應(yīng)的各點(diǎn));
③連線(將圖中描出的各點(diǎn)用平滑的曲線連接起來,得到函數(shù)的圖象).

(3)觀察函數(shù)的圖象,回答下列問題: ①圖象與x軸有個(gè)交點(diǎn),所以對應(yīng)的方程2+ =0實(shí)數(shù)根是;
②函數(shù)圖象的對稱性是
A、既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形
B、只是軸對稱圖形,不是中心對稱圖形
C、不是軸對稱圖形,而是中心對稱圖形
D、既不是軸對稱圖形也不是中心對稱圖形
(4)寫出函數(shù)y=2+ 與y= 的圖象之間有什么關(guān)系?(從形狀和位置方面說明)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,AD為△ABC的BC邊上的中線,沿AD將△ACD折疊,C的對應(yīng)點(diǎn)為C′,已知∠ADC=45°,BC=6,那么點(diǎn)B與C′的距離為(
A.3
B.3
C.3
D.6

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