【題目】如圖,AB為⊙O的直徑,弦CD垂直平分OB于點E,點F在AB延長線上,∠AFC=30°.
(1)求證:CF為⊙O的切線.
(2)若半徑ON⊥AD于點M,CE=,求圖中陰影部分的面積.
【答案】(1)證明見解析;(2).
【解析】試題分析: (1)由CD垂直平分OB,得到E為OB的中點,且CD與OB垂直,又OB=OC,可得OE等于OC的一半,在直角三角形OEC中,根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義,得到sin∠ECO的值為,可得∠ECO為30°,進而得到∠EOC為60°,又∠CFO為30°,可得∠OCF為直角,由OC為圓O的半徑,可得CF為圓的切線,
(2)由(1)得出的∠COF=60°,根據(jù)對稱性可得∠EOD為60°,進而得到∠DOA=120°,由OA=OD,且OM與AD垂直,根據(jù)“三線合一”得到∠DOM為60°,在直角三角形OCE中,由CE的長及∠ECO=30°,可求出半徑OC的長,又在直角三角形OMD中,由∠MDO=30°,半徑OD=2,可求出MD及OM的長,然后利用扇形ODN的面積減去三角形ODM的面積即可求出陰影部分的面積.
試題解析:(1)證明:∵CD垂直平分OB,
∴OE=OB,∠CEO=90°,
∵OB=OC,
∴OE=OC,
在Rt△COE中,sin∠ECO==,
∴∠ECO=30°,
∴∠EOC=60°,
∵∠CFO=30°,
∴∠OCF=90°,又OC是⊙O的半徑,
∴CF是⊙O的切線,
(2)解:由(1)可得∠COF=60°,
由圓的軸對稱性可得∠EOD=60°,∴∠DOA=120°,
∵OM⊥AD,OA=OD,∴∠DOM=60°,
在Rt△COE中,CE=,∠ECO=30°,cos∠ECO=,
∴OC=2,
在Rt△ODM中,OD=2,∠ADO=30°,
∴OM=ODsin30°=1,MD=ODcos30°=,
∴S扇形OND=,
∴S△OMD=OMDM=,
∴S陰影=S扇形OND﹣S△OMD=.
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【題目】閱讀學(xué)習:
數(shù)學(xué)中有很多恒等式可以用圖形的面積來得到.
如圖1,可以求出陰影部分的面積是;如圖2,若將陰影部分裁剪下來,重新拼成一個矩形,它的長是a+b,寬是a-b,比較圖1,圖2陰影部分的面積,可以得到恒等式.
(1)觀察圖3,請你寫出,,之間的一個恒等式_______________;
(2)根據(jù)(1)的結(jié)論,若,,求出下列各式的值:①;②;
(3)觀察圖4,請寫出圖4所表示的代數(shù)恒等式:______________________________________.
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【題目】如圖,點B、E分別在AC、DF上,AF分別交BD、CE于點M、N,∠A=∠F,∠1=∠2.
(1)求證:四邊形BCED是平行四邊形;
(2)已知DE=2,連接BN,若BN平分∠DBC,求CN的長.
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【題目】設(shè)邊長為的正方形的中心在直線上,它的一組對邊垂直于直線,半徑為的圓的圓心在直線上運動,、兩點之間的距離為.
()如圖①,當時,填表:
、、之間的數(shù)量關(guān)系 | ⊙與正方形的公共點個數(shù) |
__________ | |
__________ | |
__________ |
()如圖②,⊙與正方形有個公共點、、、、,求此時與之間的數(shù)量關(guān)系:
()由()可知,、、之間的數(shù)量關(guān)系和⊙與正方形的公共點個數(shù)密切相關(guān).當時,請根據(jù)、、之間的數(shù)量關(guān)系,判斷⊙與正方形的公共點個數(shù).
()當與之間滿足()中的數(shù)量關(guān)系時,⊙與正方形的公共點個數(shù)為__________.
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【題目】已知點A(a,3),點C(5,c),點B的縱坐標為6且橫縱坐標互為相反數(shù),直線AC軸,直線CB軸:
(1)寫出A、B、C三點坐標;
(2)求△ABC的面積;
(3)若P為線段OB上動點且點P的橫、縱坐標互為相反數(shù),當△BCP的面積大于12小于16時,求點P橫坐標取值范圍.
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【題目】我們定義:如圖,在△中,把繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到,把繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到,連接,當時,我們稱△是△的“旋補三角形”,△邊上的中線叫做的“旋補中線”,點叫做“旋補中心”.
⑴ 特例感知:在如圖、如圖中,是的“旋補三角形”,是的“旋補中線”.
① 如圖,當為等邊三角形時,與的數(shù)量關(guān)系為= ;
② 如圖,當,時,則長為 .
⑵ 精確作圖:如圖,已知在四邊形內(nèi)部存在點,使得是的“旋補三角形”(點D的對應(yīng)點為點A,點C的對應(yīng)點為點B),請用直尺和圓規(guī)作出點(要求:保留作圖痕跡,不寫作法和證明)
⑶ 猜想論證:在如圖中,當△為任意三角形時,猜想與的數(shù)量關(guān)系,并給予證明.
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【題目】如圖,直線,點B在直線MN上,點A為直線PQ上一動點,連接AB.在直線AB的上方做,使,設(shè),的平分線所在直線交PQ于點D.
(1)如圖1,若,且點C恰好落在直線MN上,則________;
(2)如圖2,若,且點C在直線MN右側(cè),求的度數(shù);
(3)若點C在直線MN的左側(cè),求的度數(shù).(用含有α的式子表示)
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【題目】某汽車專賣店銷售A,B兩種型號的新能源汽車.上周售出1輛A型車和3輛B型車,銷售額為96萬元;本周已售2輛A型車和1輛B型車,銷售額為62萬元.
(1)求每輛A型車和B型車的售價各多少萬元.
(2)甲公司擬向該店購買A,B兩種型號的新能源汽車共6輛,購車費不少于130萬元,且不超過140萬元. 則有哪幾種購車方案?
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【題目】如圖,線段AB=15cm,點P從點A出發(fā)以每秒1cm的速度在射線AB上向點B方向運動;點Q從點B出發(fā),先向點A方向運動,當與點P重合后立即改變方向與點P同向而行且速度始終為每秒2cm,設(shè)運動時間為t秒.
(1)若點P點Q同時出發(fā),且當點P與點Q重合時,求t的值.
(2)若點P點Q同時出發(fā),在P與Q相遇前,若點P是線段AQ的三等分點時,求t的值.
(3)若點P點Q同時出發(fā),Q點與P點相遇后仍然繼續(xù)往A點的方向運動到A點后再返回,求整個運動過程中PQ為6cm時t的值 .
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