【題目】在△ABC中,BC=6,S△ABC=18,正方形DEFG的邊FG在BC上,頂點(diǎn)D,E分別在AB,AC上.
(1)如圖1,過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H,交DE于點(diǎn)K,求正方形DEFG的邊長;
(2)如圖2,在BE上取點(diǎn)M,作MN⊥BC于點(diǎn)N,MQ∥DE交AB于點(diǎn)Q,QP⊥BC于點(diǎn)P,求證:四邊形MNPQ是正方形;
(3)如圖3,在BE上取點(diǎn)R,使RE=FE,連結(jié)RG,RF,若tan∠EBF=.求證:∠GRF=90°.
【答案】(1)3;(2)見解析;(3)見解析
【解析】
(1)如圖1中,設(shè)正方形DEFG的邊長為x.利用相似三角形的對(duì)應(yīng)高的比等于相似比構(gòu)建方程即可解決問題.
(2)利用平行線分線段成比例定理證明MN=MQ,再證明四邊形MNPQ是平行四邊形即可解決問題.
(3)設(shè)EF=GF=3k,BF=4k,則BG=k,BE=5k,可得BR2=BGBF=4k2,推出,推出△RBG∽△FBR,推出∠BRG=∠RFB,再證明∠ERF+∠BRG=90°可得結(jié)論.
解:(1)如圖1中,設(shè)正方形DEFG的邊長為x.
∵AH⊥BC,
∴S△ABC=BCAH=18,
∴×6×AH=18,
∴AH=6,
∵四邊形DEFG是正方形,
∴DE∥BC,
∴△ADE∽△ABC,
∴,
∴,
∴x=3,
∴正方形DEFG的邊長為3.
(2)證明:如圖2中,
∵MN⊥BC,四邊形DEFG是正方形,
∴∠MNB=∠EFB=90°,DE=EF,
∴MN∥EF,
∴,
∵MQ∥DE,
∴,
∴,
∴MN=MQ,
∵QP⊥BC,MN⊥BC,
∵QP∥MN,
∵MQ∥DE,DE∥BC,
∴QM∥PN,
∴四邊形MNPQ是平行四邊形,
∵∠MNP=90°,
∴四邊形MNPQ是矩形,
∵MN=MQ,
∴四邊形MNPQ是正方形.
(3)證明:如圖3中,
在Rt△EBF中,∵tan∠EBF=,
∴可以假設(shè)EF=GF=3k,BF=4k,則BG=k,BE=5k,
∵ER=EF=3k,
∴BR=BE﹣ER=2k,
∴BR2=BGBF=4k2,
∴,
∵∠RBG=∠RBF,
∴△RBG∽△FBR,
∴∠BRG=∠RFB,
∵ER=EF,
∴∠ERF=∠EFR,
∵∠EFR+∠BFR=90°,
∴∠ERF+∠BRG=90°,
∴∠FRG=90°.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD是正方形,點(diǎn)E、F分別在線段BC、DC上,線段AE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與線段AF重合.若,則旋轉(zhuǎn)的角度是( )
A.B.
C.D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,在中,分別在邊的中點(diǎn),是對(duì)角線,過點(diǎn)作,交的延長線于.
(1)求證:四邊形是平行四邊形;
(2)若四邊形是矩形,則四邊形是什么特殊四邊形?并證明你的結(jié)論.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在半圓O中,AB為直徑,AC、AD為兩條弦,且∠CAD+∠CAB=90°.
(1)如圖1,求證:弧AC等于弧CD;
(2)如圖2,點(diǎn)E在直徑AB上,CE交AD于點(diǎn)F,若AF=CF,求證:AD=2CE;
(3)如圖3,在(2)的條件下,連接BD,若AE=4,BD=12,求弦AC的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為早日實(shí)現(xiàn)脫貧奔小康的宏偉目標(biāo),我市結(jié)合本地豐富的山水資源,大力發(fā)展旅游業(yè),王家莊在當(dāng)?shù)卣闹С窒拢k起了民宿合作社,專門接待游客,合作社共有80間客房.根據(jù)合作社提供的房間單價(jià)x(元)和游客居住房間數(shù)y(間)的信息,樂樂繪制出y與x的函數(shù)圖象如圖所示:
(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)合作社規(guī)定每個(gè)房間價(jià)格不低于60元且不超過150元,對(duì)于游客所居住的每個(gè)房間,合作社每天需支出20元的各種費(fèi)用,房價(jià)定為多少時(shí),合作社每天獲利最大?最大利潤是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方形ABCD中,AB=6,點(diǎn)E在對(duì)角線BD上,DE=2,連接CE,過點(diǎn)E作EF⊥CE,交線段AB于點(diǎn)F
(1)求證:CE=EF;
(2)求FB的長;
(3)連接FC交BD于點(diǎn)G.求BG的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某地區(qū)為了了解當(dāng)年春游時(shí)學(xué)生的個(gè)人消費(fèi)情況,從其中一所學(xué)校的初三年級(jí)中隨機(jī)抽取了部分學(xué)生春游消費(fèi)情況進(jìn)行調(diào)查,并將這部分學(xué)生的消費(fèi)額繪制成頻率分布直方圖.已知從左至右第一組的人數(shù)為12名.請(qǐng)根據(jù)所給的信息回答:
(1)被抽取調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為 名;
(2)從左至右第五組的頻率是 ;
(3)假設(shè)每組的平均消費(fèi)額以該組的最小值計(jì)算,那么被抽取學(xué)生春游的最低平均消費(fèi)額為 元;
(4)以第(3)小題所求得的最低平均消費(fèi)額來估計(jì)該地區(qū)全體學(xué)生春游的最低平均消費(fèi)額,你認(rèn)為是否合理?請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,反比例函數(shù)y的圖象經(jīng)過點(diǎn)P(3,4).
(1)求k的值;
(2)求OP的長;
(3)直線y=mx(m≠0)與反比例函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,若AB>10,直接寫出m的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校為了解初中學(xué)生每天在校體育活動(dòng)的時(shí)間(單位:h),隨機(jī)調(diào)査了該校的部分初中學(xué)生.根據(jù)調(diào)查結(jié)果,繪制出如下的統(tǒng)計(jì)圖1和圖2.請(qǐng)根據(jù)相關(guān)信息,解答下列問題:
(Ⅰ)本次接受調(diào)查的初中學(xué)生人數(shù)為 ,圖1中m的值為 ;
(Ⅱ)求統(tǒng)計(jì)的這組每天在校體育活動(dòng)時(shí)間數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù);
(Ⅲ)根據(jù)統(tǒng)計(jì)的這組每天在校體育活動(dòng)時(shí)間的樣本數(shù)據(jù),若該校共有1200名初中學(xué)生,估計(jì)該校每天在校體育活動(dòng)時(shí)間大于1h的學(xué)生人數(shù).
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