Question

【題目】已知二次函數(shù)y=4x2﹣4ax+a2﹣2a+2，

（1）當(dāng)a=0，2，4時，請在同一直角坐標(biāo)系中畫出對應(yīng)函數(shù)圖象的頂點，并畫出a=2 時的函數(shù)圖象；
（2）證明當(dāng)a取任意實數(shù)時，頂點在一條確定的直線上；
（3）求（2）中的直線被拋物線y=4x2﹣4ax+a2﹣2a+2截得的線段長．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵二次函數(shù)y=4x2﹣4ax+a2﹣2a+2=4（x﹣ a）2﹣2a+2，

∴拋物線的頂點坐標(biāo)為（ a，﹣2a+2）．

當(dāng)a=0時，拋物線的頂點坐標(biāo)為（0，2）；

當(dāng)a=2時，拋物線的頂點坐標(biāo)為（1，﹣2），拋物線的解析式為y=4（x﹣1）2﹣2；

當(dāng)a=4時，拋物線的頂點坐標(biāo)為（2，﹣6）．

畫出函數(shù)圖象如圖所示

（2）證明：∵拋物線的頂點坐標(biāo)為（ a，﹣2a+2），

∴﹣2a+2=﹣4×（ a）+2，

∴y=﹣4x+2，即當(dāng)a取任意實數(shù)時，頂點在一條確定的直線上

（3）解：聯(lián)立兩函數(shù)解析式成方程組，

，解得： ， ，

∴兩函數(shù)的交點坐標(biāo)為（ a﹣1，﹣2a+6），（ a，﹣2a+2），

∴（2）中的直線被拋物線y=4x2﹣4ax+a2﹣2a+2截得的線段長為 =

【解析】(1) 利用配方法將二次函數(shù)解析式由一般式變形為頂點式，由此可得出拋物線的頂點坐標(biāo)，分別代入a=0、a=2、a=4找出頂點坐標(biāo)，并畫出a=2時，二次函數(shù)的圖象即可；
（2）由待定系數(shù)法，將拋物線的頂點坐標(biāo)代入直線的解析式，消去a后即可得出y=-4x+2，此題得證；
（3）聯(lián)立兩函數(shù)解析式成方程組，通過解方程組求出交點坐標(biāo)，再根據(jù)兩點間的距離公式求出線段長度即可．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)的圖象的相關(guān)知識，掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點，以及對二次函數(shù)的性質(zhì)的理解，了解增減性：當(dāng)a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減�。粚ΨQ軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減�。�