【題目】如圖,等腰Rt△ABC,AB=6,點(diǎn)E是斜邊AB上的一點(diǎn)(端點(diǎn)A、B除外),將△CAE繞C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△CBF,連接EF,且EF的中點(diǎn)為O,連OB、OC,設(shè)AE=x,
(1)求證:OB=OC;
(2)用x表示△BEF的面積S△BEF,并求S△BEF的最大值;
(3)用x表示四邊形BECF的周長(zhǎng)C,并求C的最小值.
【答案】(1)詳見解析;(2);(3)12.
【解析】
(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠ECF=90°,∠EBF=90°,然后再由直角三角形的性質(zhì)可得結(jié)論;
(2)由三角形面積公式可求得S△BEF與x的關(guān)系式,然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可;
(3)易得四邊形BECF的周長(zhǎng)C=6+2CE,于是當(dāng)CE⊥AB時(shí),CE的值最小,亦即四邊形BECF的周長(zhǎng)C最小,然后由等腰直角三角形的性質(zhì)求解即可.
解:(1)證明:∵Rt△ABC是等腰直角三角形,∴AC=BC,∠ACB=90°,∴∠CAB=∠CBA=45°,
∵將△CAE繞C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△CBF,
∴∠A=∠CBF=45°,AE=BF,CE=CF,∠ECF=90°,
∴∠EBF=∠ABC+∠CBF=90°,
∵EF的中點(diǎn)為O,∴CO=EF,BO=EF,
∴BO=CO;
(2)∵AE=BF=x,AB=6,∴BE=6﹣x,
∴S△BEF=BE×BF=﹣x2+3x=﹣(x﹣3)2+,
∴當(dāng)x=3時(shí),S△BEF的最大值為;
(3)∵四邊形BECF的周長(zhǎng)C=BE+BF+CE+CF=BE+AE+2CE=6+2CE,
∴當(dāng)CE的值最小時(shí),四邊形BECF的周長(zhǎng)C有最小值,
∴當(dāng)CE⊥AB時(shí),CE的值最小,此時(shí)CE=AB=3,
∴四邊形BECF的周長(zhǎng)C最小值=6+2×3=12.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:如圖,在中,,,垂足為點(diǎn),是外角的平分線,,垂足為點(diǎn),連接交于點(diǎn).
求證:四邊形為矩形;
當(dāng)滿足什么條件時(shí),四邊形是一個(gè)正方形?并給出證明.
在的條件下,若,求正方形周長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,某居民樓的前面有一圍墻,在點(diǎn)處測(cè)得樓頂的仰角為,在處測(cè)得樓頂的仰角為,且的高度為2米,之間的距離為20米(,,在同一條直線上).
(1)求居民樓的高度.
(2)請(qǐng)你求出、兩點(diǎn)之間的距離.(參考數(shù)據(jù):,,,結(jié)果保留整數(shù))
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,某校數(shù)學(xué)興趣小組利用自制的直角三角形硬紙板DEF來(lái)測(cè)量操場(chǎng)旗桿AB的高度,他們通過調(diào)整測(cè)量位置,使斜邊DF與地面保持平行,并使邊DE與旗桿頂點(diǎn)A在同一直線上,已知DE=0.5m,EF=0.25m,目測(cè)點(diǎn)D到地面的距離DG=1.5m,到旗桿的水平距離DC=20m,則旗桿的高度為( )
A. mB. m
C.11.5mD.10m
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【題目】如圖,將一個(gè)8cm×16cm智屏手機(jī)抽象成一個(gè)矩形ABCD,其中AB=8cm,AD=16cm,現(xiàn)將正在豎屏看視頻的這個(gè)手機(jī)圍繞它的中心R順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后改為橫屏看視頻,其中,M是CD的中點(diǎn),則圖中等于45°的角有_____個(gè).(按圖中所標(biāo)字母寫出符合條件的角)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知的周長(zhǎng)等于 ,則它的內(nèi)接正六邊形ABCDEF的面積是( )
A. B. C. D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=ax2﹣x+c與x軸相交于點(diǎn)A(﹣2,0)、B(4,0),與y軸相交于點(diǎn)C,連接AC,BC,以線段BC為直徑作⊙M,過點(diǎn)C作直線CE∥AB,與拋物線和⊙M分別交于點(diǎn)D,E,點(diǎn)P在BC下方的拋物線上運(yùn)動(dòng).
(1)求該拋物線的解析式;
(2)當(dāng)△PDE是以DE為底邊的等腰三角形時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)當(dāng)四邊形ACPB的面積最大時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo)并求出最大值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖(1)是一種簡(jiǎn)易臺(tái)燈,在其結(jié)構(gòu)圖(2)中燈座為△ABC(BC伸出部分不計(jì)),A、C、D在同一直線上.量得∠ACB=90°,∠A=60°,AB=16cm,∠ADE=135°,燈桿CD長(zhǎng)為40cm,燈管DE長(zhǎng)為15cm.(參考數(shù)據(jù):sin15°=0.26,cos15°=0.97,tan15°=0.27,sin30°=0.5,cos30°=0.87,tan30°=0.58.)
(1)求DE與水平桌面(AB所在直線)所成的角;
(2)求臺(tái)燈的高(點(diǎn)E到桌面的距離,結(jié)果精確到0.1cm).
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【題目】方格紙中的每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1個(gè)單位的正方形,在建立平面直角坐標(biāo)系后,△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4,﹣1).
(1)作出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的,并寫出的坐標(biāo);
(2)作出△ABC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到的,并求出所經(jīng)過的路徑長(zhǎng).
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