Question

【題目】已知：如圖，在中，，，垂足為點，是外角的平分線，，垂足為點，連接交于點．

求證：四邊形為矩形；

當滿足什么條件時，四邊形是一個正方形？并給出證明．

在的條件下，若，求正方形周長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）且時，四邊形是一個正方形；證明見解析；（3）8；

【解析】

（ 1 ）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得 ∠ CAD=∠ BAC ，根據(jù)等式的性質(zhì)，可得∠CAD+ ∠CAE=（ ∠BAC+ ∠CAM ）=90°，根據(jù)垂線的定義，可得∠ADC=∠CEA，根據(jù)矩形的判定，可得答案；

（ 2 ）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，可得AD與CD的關系，根據(jù)正方形的判定，可得答案；

（ 3 ）根據(jù)勾股定理，可得AD的長，根據(jù)正方形周長公式，可得答案．

∵，，垂足為點，

∴．

∵是外角的平分線，

∴．

∵與是鄰補角，

∴，

∴．

∵，，

∴，

∴四邊形為矩形；

（2）且時，四邊形是一個正方形，

∵且，，

∴，，

∴，

∴．

∵四邊形為矩形，

∴四邊形為正方形；

由勾股定理，得

，，

即，

，

正方形周長．