【題目】如圖(1),P為ABC所在平面上一點(diǎn),且APB=BPC=CPA=120°,則點(diǎn)P叫做ABC的費(fèi)馬點(diǎn).

(1)如果點(diǎn)P為銳角ABC的費(fèi)馬點(diǎn),且ABC=60°.

①求證:ABP∽△BCP;

②若PA=3,PC=4,則PB=

(2)已知銳角ABC,分別以AB、AC為邊向外作正ABE和正ACD,CE和BD 相交于P點(diǎn).如圖(2)

①求CPD的度數(shù);

②求證:P點(diǎn)為ABC的費(fèi)馬點(diǎn).

【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析

【解析】

試題分析:(1)①根據(jù)題意,利用內(nèi)角和定理及等式性質(zhì)得到一對(duì)角相等,利用兩角相等的三角形相似即可得證;

②由三角形ABP與三角形BCP相似,得比例,將PA與PC的長(zhǎng)代入求出PB的長(zhǎng)即可;

(2)①根據(jù)三角形ABE與三角形ACD為等邊三角形,利用等邊三角形的性質(zhì)得到兩對(duì)邊相等,兩個(gè)角為60°,利用等式的性質(zhì)得到夾角相等,利用SAS得到三角形ACE與三角形ABD全等,利用全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等得到1=2,再由對(duì)頂角相等,得到5=6,即可求出所求角度數(shù);

②由三角形ADF與三角形CPF相似,得到比例式,變形得到積的恒等式,再由對(duì)頂角相等,利用兩邊成比例,且夾角相等的三角形相似得到三角形AFP與三角形CFD相似,利用相似三角形對(duì)應(yīng)角相等得到APF為60°,由APD+DPC,求出APC為120°,進(jìn)而確定出APB與BPC都為120°,即可得證.

試題解析:(1)證明:①∵∠PAB+PBA=180°﹣APB=60°,PBC+PBA=ABC=60°,

∴∠PAB=PBC,

∵∠APB=BPC=120°,

∴△ABP∽△BCP,

②解:∵△ABP∽△BCP,

,

PB2=PAPC=12,

PB=2;

(2)解:①∵△ABE與ACD都為等邊三角形,

∴∠BAE=CAD=60°,AE=AB,AC=AD,

∴∠BAE+BAC=CAD+BAC,即EAC=BAD,

ACE和ABD中,

,

∴△ACE≌△ABD(SAS),

∴∠1=2,

∵∠3=4,

∴∠CPD=6=5=60°;

②證明:∵△ADF∽△CFP,

AFPF=DFCF,

∵∠AFP=CFD,

∴△AFP∽△CDF.

∴∠APF=ACD=60°,

∴∠APC=CPD+APF=120°,

∴∠BPC=120°,

∴∠APB=360°﹣BPC﹣APC=120°,

P點(diǎn)為ABC的費(fèi)馬點(diǎn).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,將一塊等腰直角三角板ABC放在第一象限,斜靠在兩條坐標(biāo)軸上,∠ACB=900,且A04),點(diǎn)C2,0),BE⊥x軸于點(diǎn)E,一次函數(shù)y=x+b經(jīng)過點(diǎn)B,交y軸于點(diǎn)D

1求證;△AOC≌△CEB

2△ABD的面積。

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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知 三角形ABC各頂點(diǎn)在格點(diǎn)上

1)直接寫出三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)

A   B   C   ;

2)畫出三角形ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的三角形A′B′C′.

3)求三角形ABC的面積;

4)直接與出A′C′y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)   

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【題目】已知反比例函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)M(2,6)

(1)求這個(gè)函數(shù)的解析式,并指出它的圖象位于哪些象限?

(2)在這個(gè)圖象上任取兩個(gè)點(diǎn)A(a,b)和B(a′,b′),如果a>a′,那么bb′怎樣的大小關(guān)系?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,在長(zhǎng)方形OABC中,O為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a,0),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,b),且a、b滿足+|b6|0,點(diǎn)B在第一象限內(nèi),點(diǎn)P從原點(diǎn)出發(fā),以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿著OCBAO的線路移動(dòng).

1a   ,b   ,點(diǎn)B的坐標(biāo)為   ;

2)當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)3.5秒時(shí),求出點(diǎn)P的坐標(biāo);

3)在移動(dòng)過程中,若點(diǎn)Px軸的距離為4個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí),求點(diǎn)P移動(dòng)的時(shí)間.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖1,在ABC中,AB=AC,BAC=90°,AE是過A點(diǎn)的一條直線,且B,CAE的異側(cè),BDAED,CEAEE.

(1)ABDCAE全等嗎?BDDE+CE相等嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由。

(2)如圖2,若直線AE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖②所示的位置(BD<CE)時(shí),其余條件不變,則BDDECE的關(guān)系如何?請(qǐng)說(shuō)明理由

(3)如圖3,若直線AE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖③所示的位置(BD>CE)時(shí),其余條件不變,則BDDE、CE的關(guān)系如何?

(4)根據(jù)以上的討論,請(qǐng)用簡(jiǎn)潔的語(yǔ)言表達(dá)BDDECE的數(shù)量關(guān)系.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,ACBC,DCEC,AC=BCDC=EC,圖中AEBD有怎樣的關(guān)系(數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系)?并證明你的結(jié)論.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,一枚棋子放在七角棋盤的第0號(hào)角,現(xiàn)依逆時(shí)針方向移動(dòng)這枚棋子,其各步依次移動(dòng)1,2,3,…,n個(gè)角,如第一步從0號(hào)角移動(dòng)到第1號(hào)角,第二步從第1號(hào)角移動(dòng)到第3號(hào)角,第三步從第3號(hào)角移動(dòng)到第6號(hào)角,….若這枚棋子不停地移動(dòng)下去,則這枚棋子永遠(yuǎn)不能到達(dá)的角的個(gè)數(shù)是( )

A.0 B.1 C.2 D.3

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知二次函數(shù)y=k(x﹣ax﹣b),其中a≠b.

(1)若此二次函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)(0,k),試求a,b滿足的關(guān)系式.

(2)若此二次函數(shù)和函數(shù)y=x2﹣2x的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱,求該函數(shù)的表達(dá)式.

(3)若a+b=4,且當(dāng)0≤x≤3時(shí),有1≤y≤4,求a的值.

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