【題目】已知:平行四邊形,對(duì)角線點(diǎn)P為射線BC上一點(diǎn),,(點(diǎn)M與點(diǎn)B分別在直線AP的兩側(cè)),且聯(lián)結(jié)MD.
(1)當(dāng)點(diǎn)M在內(nèi)時(shí),如圖一,設(shè)求關(guān)于的函數(shù)解析式.
(2)請(qǐng)?jiān)趫D二中畫(huà)出符合題意得示意圖,并探究:圖中是否存在與相似的三角形?若存在,請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由
(3)當(dāng)為等腰三角形時(shí),求的長(zhǎng).
【答案】(1);(2),證明見(jiàn)解析;(3)7.5或3或27.
【解析】
(1)作AE⊥BC于E,先在Rt△ABC中運(yùn)用勾股定理求出BC=15,再解Rt△ABE,得到AE=,BE=,然后在Rt△AEP中,利用勾股定理得AP2=PE2+AE2,即可求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)先由兩角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似證明出△APM∽△ACD,則AP:AC=AM:AD,即AP:AM=AC:AD,又由∠PAM=∠CAD,得出∠PAC=∠MAD,根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩三角形相似即可得到△PAC∽△MAD;
(3)先由相似三角形的形狀相同,由(2)得出△APC為等腰三角形,再分兩種情況進(jìn)行討論:①點(diǎn)M在平行四邊形內(nèi);②點(diǎn)M在平行四邊形外;又分兩種情況:(i)P在BC上,(ii)P在BC的延長(zhǎng)線上.
解:(1)如圖,作AE⊥BC于E,
在Rt△ABC中,∵AB=9,AC=12,
∴BC=15,
∵△ABE∽△CBA,
∴BE=,AE=
∵BP= ,∴PE=,
在Rt△AEP中,
∴
(2) 存在,,
∵∠PAM=∠CAD,∠APM=∠ACD=90°,
∴△APM∽△ACD,
∴
∴
∵,
∴∠PAC=∠MAD,
∴
(3)∵△PAC∽△MAD,
∴當(dāng)△AMD為等腰三角形時(shí),△APC也為等腰三角形,
①當(dāng)點(diǎn)M在平行四邊形內(nèi)時(shí),如圖1.點(diǎn)P只能在EC上,
∵∠APC為鈍角,
∴∠PAC=∠PCA,
∴PC=PA,
又∵∠PAB=90°-∠PAC,∠B=90°-∠PCA,
∴∠PAB=∠B,∴PA=PB,
∴PA=PB=PC=BC=,
即BP=7.5;
②當(dāng)點(diǎn)M在平行四邊形外時(shí),
(i)若P在BC上,如圖2.點(diǎn)P只能在BE上,
∵AP<AC,AP<PC,
∴CA=CP=12,則BP=15-12=3;
(ii)若P在BC的延長(zhǎng)線上,如圖3,
∵AP>AC,AP>PC,
∴CA=CP=12,則BP=15+12=27.
綜上可知,當(dāng)△AMD為等腰三角形時(shí),BP的長(zhǎng)為7.5或3或27.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于C點(diǎn),B點(diǎn)與C點(diǎn)是直線y=x﹣3與x軸、y軸的交點(diǎn).D為線段AB上一點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式及A點(diǎn)坐標(biāo).
(2)若點(diǎn)D在線段OB上,過(guò)D點(diǎn)作x軸的垂線與拋物線交于點(diǎn)E,求出點(diǎn)E到直線BC的距離的最大值.
(3)D為線段AB上一點(diǎn),連接CD,作點(diǎn)B關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)B′,連接AB′、B′D
①當(dāng)點(diǎn)B′落坐標(biāo)軸上時(shí),求點(diǎn)D的坐標(biāo).
②在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,△AB′D的內(nèi)角能否等于45°,若能,求此時(shí)點(diǎn)B′的坐標(biāo);若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線為正比例函數(shù)的圖象,點(diǎn)的坐標(biāo)為,過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交直線于點(diǎn),以為邊作正方形;過(guò)點(diǎn)作直線的垂線,垂足為,交軸于點(diǎn),以為邊作正方形;過(guò)點(diǎn)作軸的垂線,垂足為,交直線于點(diǎn),以為邊作正方形,…,按此規(guī)律操作下所得到的正方形的面積是
A.B.C.D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知⊙中,為直徑,、分別切⊙于點(diǎn)、.
(1)如圖①,若,求的大小;
(2)如圖②,過(guò)點(diǎn)作∥,交于點(diǎn),交⊙于點(diǎn),若,求的大。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在Rt中,∠ACB=90°,,AC=4;D是BC的延長(zhǎng)線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),∠EDA=∠B,AE//BC.
(1)找出圖中的相似三角形,并加以證明;
(2)設(shè),,求關(guān)于的函數(shù)解析式,并寫(xiě)出函數(shù)的定義域;
(3)當(dāng)為等腰三角形時(shí),求AE的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】蜂蜜具有消食、潤(rùn)肺、安神、美顏之功效,是天然的健康保健佳品.秋天即將來(lái)臨時(shí),雪寶山土特產(chǎn)公司抓住商機(jī)購(gòu)進(jìn)甲、乙、丙三種蜂蜜,已知銷售每瓶甲蜂蜜的利潤(rùn)率為10%,每瓶乙蜂蜜的利潤(rùn)率為20%,每瓶丙蜂蜜的利潤(rùn)率為30%.當(dāng)售出的甲、乙、丙蜂蜜瓶數(shù)之比為1:3:1時(shí),商人得到的總利潤(rùn)率為22%;當(dāng)售出的甲、乙、丙蜂蜜瓶數(shù)之比為3:2:1時(shí),商人得到的總利潤(rùn)率為20%.那么當(dāng)售出的甲、乙、丙蜂蜜瓶數(shù)之比為5:6:1時(shí),該公司得到的總利潤(rùn)率為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知一塊等腰三角形鋼板的底邊長(zhǎng)為60cm,腰長(zhǎng)為50 cm,能從這塊鋼板上截得得最大圓得半徑為________cm
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(1,1),B(4,2),C(3,4).
(1)請(qǐng)畫(huà)出△ABC向左平移5個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的△A1B1C1;
(2)請(qǐng)畫(huà)出△ABC關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的△A2B2C2;并寫(xiě)出點(diǎn)A2、B2、C2坐標(biāo);
(3)請(qǐng)畫(huà)出△ABC繞O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的△A3B3C3;并寫(xiě)出點(diǎn)A3、B3、C3坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知,在Rt中,,點(diǎn)是斜邊的中點(diǎn),,且,于點(diǎn),聯(lián)結(jié).
(1)求證: ;
(2)當(dāng)時(shí),求的值;
(3)在(2)的條件下,求的值.
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