【題目】如圖,在Rt中,∠ACB=90°,,AC=4;D是BC的延長(zhǎng)線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),∠EDA=∠B,AE//BC.
(1)找出圖中的相似三角形,并加以證明;
(2)設(shè),,求關(guān)于的函數(shù)解析式,并寫(xiě)出函數(shù)的定義域;
(3)當(dāng)為等腰三角形時(shí),求AE的長(zhǎng).
【答案】(1)△ADE△DBA;(2);(3)4或.
【解析】
(1)△ADE∽△DBA,理由為:由AE平行于BC,利用兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得到一組對(duì)角相等,再由已知的一對(duì)角相等,利用兩組對(duì)應(yīng)角相等的兩三角形相似可得證;
(2)在直角三角形ABC中,利用銳角三角函數(shù)定義表示出sinB,將AC及sinB的值代入,求出AB的長(zhǎng),進(jìn)而利用勾股定理求出BC的長(zhǎng),由(1)得出的兩三角形相似得出比例式,設(shè)CD=x,AE=y,由BD=BC+BD表示出BD,再由AC及CD的長(zhǎng),利用勾股定理表示出AD,將各自的值代入比例式,整理后即可得到y與x的關(guān)系式,并根據(jù)邊CD大于0得到x大于0,即為函數(shù)的定義域;
(3)當(dāng)△ADE為等腰三角形,分三種情況考慮:AE=AD;AE=DE;AD=DE,分別利用相似得比例及勾股定理即可求出AE的長(zhǎng).
(1)△ADE∽△DBA,理由為:
證明:∵AE∥BC,
∴∠EAD=∠ADB,
∵∠EDA=∠B,
∴△ADE∽△DBA;
(2)∵在Rt△ABC中,∠C=90°, ,AC=4,
∴,
∴,
∵△ADE∽△DBA,
∴,
設(shè)CD=x,AE=y,
則
∴
;
(3)分三種情況考慮:
當(dāng)△ADE為等腰三角形,且AE=AD時(shí),如圖所示:
∵△ADE∽△DBA,
∴△DBA也為等腰三角形,即DB=DA,此時(shí)四邊形ABDE為平行四邊形,
設(shè)AE=AD=BD=a,則有CD=BDBC=a3,
在Rt△ACD中,根據(jù)勾股定理得:AD2=AC2+CD2,即a2=42+(x3)2,
解得:x=,
此時(shí)AE=;
當(dāng)△ADE為等腰三角形,且AE=DE時(shí),如圖所示:
∵△ADE∽△DBA,
∴AD=AB=5,
在Rt△ACD中,AC=4,AD=5,
根據(jù)勾股定理得:CD=3,
故BD=BC+CD=3+3=6,
∴,即,
解得:AE=;
當(dāng)△ADE為等腰三角形,且AD=DE時(shí),如圖所示:
∵△ADE∽△DBA,
∴BD=AB=5,
故CD=BDBC=53=2,
在Rt△ACD中,AC=4,CD=2,
根據(jù)勾股定理得:AD=,
∴,即,
解得:AE=4,
綜上,AE的值為4或.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】根據(jù)下列條件,求二次函數(shù)的解析式.
(1)圖象經(jīng)過(guò)(0,1),(1,﹣2),(2,3)三點(diǎn);
(2)圖象的頂點(diǎn)(2,3),且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,1);
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知點(diǎn)A(1,a)是反比例函數(shù)的圖象上一點(diǎn),直線與反比例函數(shù)的圖象在第四象限的交點(diǎn)為點(diǎn)B.
(1)求直線AB的解析式;
(2)動(dòng)點(diǎn)P(x,0)在x軸的正半軸上運(yùn)動(dòng),當(dāng)線段PA與線段PB之差達(dá)到最大時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖①,已知線段和直線,用直尺和圓規(guī)在上作出所有的點(diǎn),使得,如圖②,小明的作圖方法如下:
第一步:分別以點(diǎn),為圓心,長(zhǎng)為半徑作弧,兩弧在上方交于點(diǎn);
第二步:連接,;
第三步:以為圓心,長(zhǎng)為半徑作,交于,;
所以圖中,即為所求的點(diǎn).
(1)在圖②中,連接,,說(shuō)明;
(方法遷移)
(2)如圖③,用直尺和圓規(guī)在矩形內(nèi)作出所有的點(diǎn),使得(不寫(xiě)作法,保留作圖痕跡).
(深入探究)
(3)已知矩形,,,為邊上的點(diǎn),若滿足的點(diǎn)恰有兩個(gè),求的取值范圍.
(4)已知矩形,,,為矩形內(nèi)一點(diǎn),且,若點(diǎn)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到點(diǎn),求的最小值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(10分)水果店張阿姨以每斤2元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)某種水果若干斤,然后以每斤4元的價(jià)格出售,每天可售出100斤,通過(guò)調(diào)查發(fā)現(xiàn),這種水果每斤的售價(jià)每降低0.1元,每天可多售出20斤,為保證每天至少售出260斤,張阿姨決定降價(jià)銷售.
(1)若將這種水果每斤的售價(jià)降低x元,則每天的銷售量是 斤(用含x的代數(shù)式表示);
(2)銷售這種水果要想每天盈利300元,張阿姨需將每斤的售價(jià)降低多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:平行四邊形,對(duì)角線點(diǎn)P為射線BC上一點(diǎn),,(點(diǎn)M與點(diǎn)B分別在直線AP的兩側(cè)),且聯(lián)結(jié)MD.
(1)當(dāng)點(diǎn)M在內(nèi)時(shí),如圖一,設(shè)求關(guān)于的函數(shù)解析式.
(2)請(qǐng)?jiān)趫D二中畫(huà)出符合題意得示意圖,并探究:圖中是否存在與相似的三角形?若存在,請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由
(3)當(dāng)為等腰三角形時(shí),求的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】今年上半年,住房和城鄉(xiāng)建設(shè)等9部門(mén)決定在全國(guó)地級(jí)以上城市全面啟動(dòng)生活垃分類工作.圾分類有利于對(duì)垃圾進(jìn)行分流處理,勢(shì)在必行.為了了解同學(xué)們對(duì)垃圾分類相關(guān)知識(shí)的掌握情況,增強(qiáng)同學(xué)們的環(huán)保意識(shí),西街中學(xué)團(tuán)委對(duì)七年級(jí)一,二兩班各69名學(xué)生進(jìn)行了垃極分類相關(guān)知識(shí)的測(cè)試,并分別抽取了15份成績(jī),整理分析過(guò)程如下,請(qǐng)補(bǔ)充完整.
(收集數(shù)據(jù))
一班15名學(xué)生測(cè)試成績(jī)統(tǒng)計(jì)如下:(滿分100分)
68,72,89,85,82,85,74,92,80,85,78,85,69,76,80
二班15名學(xué)生測(cè)試成績(jī)統(tǒng)計(jì)如下:(滿分100分)
86,89,83,76,73,78,67,80,80,79,80,84,82,80,83
(整理數(shù)據(jù))
(1)按如下分?jǐn)?shù)段整理、描述這兩組樣本數(shù)據(jù)
組別 頻數(shù) | 65.5~70.5 | 70.5~75.5 | 75.5~80.5 | 80.5~85.5 | 85.5~90.5 | 90.5~95.5 |
一 | 2 | 2 | 4 | 5 | 1 | 1 |
二 | 1 | 1 | a | b | 2 | 0 |
在表中,a= ,b= .
(分析數(shù)據(jù))
(2)兩組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、方差如下表所示:
班級(jí) | 平均數(shù) | 眾數(shù) | 中位數(shù) | 方差 |
一 | 80 | x | 80 | 47.6 |
二 | 80 | 80 | y | z |
在表中:x= ,y= .
(3)若規(guī)定得分在80分及以上(含80分)為合格,請(qǐng)估計(jì)二班69名學(xué)生中垃極分類及投放相關(guān)知識(shí)合格的學(xué)生有 人.
(4)你認(rèn)為哪個(gè)班的學(xué)生掌握垃圾分類相關(guān)知識(shí)的整體水平較好,說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】張華為體育測(cè)試做準(zhǔn)備,每天爬家對(duì)面的翠山,張華從西坡沿坡角為35°的山坡爬了2000米,緊接著又爬了坡角為45°的山坡800米,最后到達(dá)山頂;請(qǐng)你計(jì)算翠山的高度.(結(jié)果精確到個(gè)位,參考數(shù)據(jù):.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在一元二次方程中,有著名的韋達(dá)定理:對(duì)于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),如果方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1,x2,那么x1+x2=,x1+x2= (說(shuō)明:定理成立的條件△≥0).比如方程2x2-3x-1=0中,△=17,所以該方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)解.記方程的兩根為x1,x2,那么x1+x2=,x1+x2=.請(qǐng)閱讀材料回答問(wèn)題:
(1)已知方程x2-3x-2=0的兩根為x1、x2,求下列各式的值:
①x12+x22;②;
(2)已知x1,x2是一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.
①是否存在實(shí)數(shù)k,使(2x1-x2)(x1-2x2)=成立?若存在,求出k的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
②求使-2的值為整數(shù)的實(shí)數(shù)k的整數(shù)值.
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