【題目】如圖,在平面直角坐標系中,拋物線與x軸交于A、B兩點,與y軸交于C點,B點與C點是直線y=x﹣3與x軸、y軸的交點.D為線段AB上一點.
(1)求拋物線的解析式及A點坐標.
(2)若點D在線段OB上,過D點作x軸的垂線與拋物線交于點E,求出點E到直線BC的距離的最大值.
(3)D為線段AB上一點,連接CD,作點B關(guān)于CD的對稱點B′,連接AB′、B′D
①當點B′落坐標軸上時,求點D的坐標.
②在點D的運動過程中,△AB′D的內(nèi)角能否等于45°,若能,求此時點B′的坐標;若不能,請說明理由.
【答案】(1),A(﹣2,0);(2)E到BC的最大距離為;(3)①D1(0,0);D2(3,0);②B′坐標為(0,3)或(-3)或(,)或(﹣,).
【解析】
(1)求出B,C兩點的坐標,代入拋物線解析式即可得出答案;
(2)設(shè)E點橫坐標為m,則F(m,m3),過點E作EH⊥BC于點H,EF=yFyE=,利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求出E到直線BC的距離的最大值;
(3)①點B′在以C為圓心,CB為半徑的圓C上.所以滿足條件的B′有兩個,分別位于y軸、x軸,結(jié)合對稱的性質(zhì)解答即可;
②分不同的情況進行討論:
(Ⅰ)當點B′位于y軸上,易得點B′的坐標;
(Ⅱ)如圖3,連接CB′,構(gòu)造菱形DB′CB,根據(jù)菱形的性質(zhì)求得B′(3,3);
(Ⅲ)∠B′AD=45°,如圖4,連接CB′,過點B′分別作坐標軸的垂線,垂足為E、F,在直角△CFB′中,由勾股定理知m2+(5m)2=(3)2,解出m即可;
(Ⅳ)如圖5,∠AB′D=45°,連接CB’,過點B′作y軸的垂線,垂足為點F,由軸對稱性質(zhì)可得當∠AB′D=45°時,點A在線段CB′上,結(jié)合勾股定理求得m的值,進而求得符合條件的點B′的坐標.
(1)∵B點與C點是直線y=x﹣3與x軸、y軸的交點.
∴B(3,0),C(0,﹣3),
∴,解得:,
∴拋物線的解析式為,
令y=0,則,
解得x1=﹣2,x2=3,
∴A(﹣2,0);
(2)設(shè)E點到直線BC的距離為d,E點橫坐標為m,F(m,m﹣3),
∵B(3,0),C(0,﹣3),
∴∠OBC=45°,
如圖1,過點E作EH⊥BC于點H,
則△EFH為等腰直角三角形,
∴EH=,
EF=yF﹣yE=m﹣3﹣(),
=(0≤m≤3),
=,
當時,EF的最大值為,
∴d=EF==.
即E到BC的最大距離為;
(3)①點B′在以C為圓心,CB為半徑的圓C上;
(Ⅰ)當B′點落在x軸上時,D1(0,0);
(Ⅱ)當B′點落在y軸上時,如圖2,CB′=CB=3,
∵∠OB′D=45°
∴OD=OB’=3﹣3,
∴;
②分別畫出圖形進行討論求解:
(Ⅰ)∠B′DA=45°時,如圖2,OB′=3﹣3,B′(0,3﹣3)
(Ⅱ)如圖3,連接CB′,∠B′DA=∠CBD=45°,
∴DB′∥BC,可得四邊形DB′CB是菱形,
B′(﹣3,﹣3).
(Ⅲ)∠B′AD=45°,如圖4,連接CB′,過點B′分別作坐標軸的垂線,垂足為E、F,
設(shè)線段FB’的長為m,B′E=AE=2﹣m,可得CF=5﹣m,
在直角三角形CFB’中,m2+(5﹣m)2=(3)2,
解得m=,
故B′(),
(Ⅳ)如圖5,∠AB′D=45°,連接CB’,過點B′作y軸的垂線,垂足為點F,
由軸對稱性質(zhì)可得,∠CB′D=∠CBD=45°,所以當∠AB′D=45°時,點A在線段CB′上,
∴,
設(shè)線段FB′的長為2m,FC=3m,(2m)2+(3m)2=,
解得:m=,B′,
綜合以上可得B′坐標為(0,)或或()或.
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【題目】如圖,在矩形ABCD中,∠BAD的平分線交BC于點E,交DC的延長線于點F,取EF的中點G,連接CG,BG,BD,DG,下列結(jié)論:
①BE=CD;
②∠DGF=135°;
③∠ABG+∠ADG=180°;
④若,則.
其中正確的結(jié)論是 .(填寫所有正確結(jié)論的序號)
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【題目】如圖,等邊△ABC中,D在射線BA上,以CD為一邊,向右上方作等邊△EDC.若BC、CD的長為方程x2﹣15x+7m=0的兩根,當m取符合題意的最大整數(shù)時,則不同位置的D點共有( 。
A.1個B.2個C.3個D.4個
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【題目】某廠設(shè)計了一款成本為20元∕件的公益用品投放市場進行試銷.經(jīng)過調(diào)查,得到如下數(shù)據(jù):
銷售單價x(元∕件) | … | 30 | 40 | 50 | 60 | … |
每天銷售量y(件) | … | 500 | 400 | 300 | 200 | … |
(1)認真分析上表中的數(shù)據(jù),用你所學過的函數(shù)知識確定一個滿足這些數(shù)據(jù)的y與x的函數(shù)關(guān)系,并求出函數(shù)關(guān)系式.
(2)設(shè)該廠試銷該公益品每天獲得的利潤為w元,當銷售單價x定為多少時,w有最大值?最大利潤是多少?
(3)當?shù)孛裾块T規(guī)定,若該廠銷售此公益品單價不低于成本價且不超過46元/件時,該廠每銷售一件此公益品,國家就補貼該廠a元利潤(a>4)。設(shè)日銷售利潤為m元,公司通過銷售記錄發(fā)現(xiàn),m始終隨銷售單價x的增大而增大,求a的取值范圍.
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【題目】根據(jù)下列條件,求二次函數(shù)的解析式.
(1)圖象經(jīng)過(0,1),(1,﹣2),(2,3)三點;
(2)圖象的頂點(2,3),且經(jīng)過點(3,1);
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【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx過點B(1,﹣3),對稱軸是直線x=2,且拋物線與x軸的正半軸交于點A.
(1)求拋物線的解析式,并根據(jù)圖象直接寫出當y≤0時,自變量x的取值范圖;
(2)在第二象限內(nèi)的拋物線上有一點P,當PA⊥BA時,求△PAB的面積.
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【題目】如圖,PA、PB是⊙O的切線,切點分別是A、B,直線EF也是⊙O的切線,切點為Q,交PA、PB于點E、F,已知PA=12cm,∠P=40°
(1)求△PEF的周長.
(2)求∠EOF的度數(shù).
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【題目】已知:平行四邊形,對角線點P為射線BC上一點,,(點M與點B分別在直線AP的兩側(cè)),且聯(lián)結(jié)MD.
(1)當點M在內(nèi)時,如圖一,設(shè)求關(guān)于的函數(shù)解析式.
(2)請在圖二中畫出符合題意得示意圖,并探究:圖中是否存在與相似的三角形?若存在,請寫出證明過程,若不存在,請說明理由
(3)當為等腰三角形時,求的長.
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