Question

【題目】在矩形OABC中，OA＝4，OC＝2，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA所在的直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系．

（1）將矩形OABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至矩形DEFC，如圖1，DE經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，求旋轉(zhuǎn)角的大小和點(diǎn)D，F的坐標(biāo)；

（2）將圖1中矩形DEFC沿直線BC向左平移，如圖2，平移速度是每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度．

①經(jīng)過(guò)幾秒，直線EF經(jīng)過(guò)點(diǎn)B；

②設(shè)兩矩形重疊部分的面積為S，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，寫出重疊部分面積S與時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

【答案】（1）旋轉(zhuǎn)角為30°，D（1，），F（；（2）①直線EF經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)所需的時(shí)間為秒；②當(dāng)0＜t＜1時(shí)，；當(dāng)1≤t＜4時(shí)，．

【解析】

（1）根據(jù)OA＝4，OC＝2，可得BC＝2CD，則可以求出∠BCD＝60°，則旋轉(zhuǎn)角即可求得；作DM⊥CB于點(diǎn)M，FN⊥CB于點(diǎn)N，根據(jù)三角函數(shù)即可求得DM，CM的長(zhǎng)，從而求得D的坐標(biāo)，在Rt△CFN中，根據(jù)三角函數(shù)求得CN，FN的長(zhǎng)，即可得F的坐標(biāo)；

（2）①如圖，HB即為直線EF經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)移動(dòng)的距離，在Rt△C′DH中利用三角函數(shù)即可求得DH，從而得到HE，再在Rt△HEB中，利用三角函數(shù)求得BH，即可求得時(shí)間；

②分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)0＜t＜1時(shí)，重疊部分面積為四邊形DGCH，如圖2；當(dāng)1≤t＜4時(shí)，重疊部分的面積為△GCH，如圖3，分別求解即可．

解：（1）如圖1，在矩形OABC中，OA＝4，OC＝2，

∴在Rt△BCD中，BC＝2CD，即，

∴∠BCD＝60°，

∴旋轉(zhuǎn)角∠OCD＝30°，

作DM⊥CB于點(diǎn)M，FN⊥CB于點(diǎn)N，

在Rt△CDM中，CM＝CDcos60°＝1，DM＝CDsin60°＝，

∴點(diǎn)D到x軸的距離為，

在Rt△CFN中，，

∴點(diǎn)F到x軸的距離為4，

故D（1，），F（，）；

（2）①如圖2，HB即為直線EF經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)移動(dòng)的距離，

在Rt△C′DH中，，

∴，

在Rt△BEH中，∠BHE＝∠C′HD＝30°，cos30°＝，則，

∴直線EF經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)所需的時(shí)間為秒；

②過(guò)點(diǎn)D作DM⊥BC于點(diǎn)M，

在Rt△DMC′中，C′M＝，

當(dāng)0＜t＜1時(shí)，重疊部分面積為四邊形DGCH，如圖2，

∵C′C＝t，CG＝C′C·tan60°＝，

∴，

當(dāng)1≤t＜4時(shí)，重疊部分的面積為△GCH，如圖3，

∵，

∴．