【題目】已知,如圖,在Rt△ABC中,∠C=90,∠BAC的角平分線AD交BC邊于D.
(1)以AB邊上一點(diǎn)O為圓心作⊙O,使它過A,D兩點(diǎn)(不寫作法,保留作圖痕跡),再判斷直線BC與⊙O的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)若(1)中的⊙O與AB邊的另一個交點(diǎn)為E,AB=3,BD=3,求線段BD、BE與劣弧DE所圍成的圖形面積.(結(jié)果保留根號和)
【答案】(1)相切,理由見解析; (2)
【解析】
(1)因?yàn)椤?/span>O過A,D兩點(diǎn),故圓心O應(yīng)在AD垂直平分線上,根據(jù)尺規(guī)作圖法,作AD垂直平分線,與AB的交點(diǎn)即為O點(diǎn),根據(jù)等邊對等角和角的等量代換可得∠CAD=∠ODA ,繼而可知AC∥OD,再根據(jù)“兩直線平行,內(nèi)錯角相等”和切線判定定理,即可求證.
(2)設(shè)⊙O的半徑為x,根據(jù)勾股定理,列關(guān)于x的方程,求x的值,再根據(jù)S陰影部分=S△ODB-S扇形ODE,求出S陰影部分即可.
(1)作圖如圖所示.
直線BC與⊙O的位置關(guān)系為相切.
理由:連接OD,
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA
∵AD是∠OAC的角平分線,
∴∠OAD=∠CAD,
∴∠CAD=∠ODA,
∴AC∥OD,
∴∠ODB=∠ACB=90°
∴OD⊥BC
即OD為⊙O的切線;
(2)如圖所示,陰影部分的面積即為所求面積.
設(shè)⊙O的半徑為x,
∵AB=3,OD=OA=x,
∴OB=3-x,
在Rt△ODB中,BD=3,OD=x,OB=3-x
根據(jù)勾股定理得:
,
解得:x=
即OD=
OB=
∴sin∠B=
∴∠B=30°
∴∠BOD=90°-30°=60°
∴S陰影部分=S△ODB-S扇形ODE=OD×BD-=
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在矩形OABC中,OA=4,OC=2,以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),OA所在的直線為x軸,建立直角坐標(biāo)系.
(1)將矩形OABC繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)至矩形DEFC,如圖1,DE經(jīng)過點(diǎn)B,求旋轉(zhuǎn)角的大小和點(diǎn)D,F的坐標(biāo);
(2)將圖1中矩形DEFC沿直線BC向左平移,如圖2,平移速度是每秒1個單位長度.
①經(jīng)過幾秒,直線EF經(jīng)過點(diǎn)B;
②設(shè)兩矩形重疊部分的面積為S,運(yùn)動時間為t,寫出重疊部分面積S與時間t之間的函數(shù)關(guān)系式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】參照學(xué)習(xí)函數(shù)的過程與方法,探究函數(shù)的圖象與性質(zhì).因?yàn)?/span>,即,所以我們對比函數(shù)來探究.
列表:
描點(diǎn):在平面直角坐標(biāo)系中,以自變量的取值為橫坐標(biāo),以相應(yīng)的函數(shù)值為縱坐標(biāo),描出相應(yīng)的點(diǎn),如圖所示:
(1)請補(bǔ)全函數(shù)圖象;
(2)觀察圖象并分析表格,回答下列問題:
①當(dāng)時,隨的增大而_________;(填“增大”或“減小”)
②的圖象是由的圖象向________平移________個單位而得到;
③圖象關(guān)于點(diǎn)_________中心對稱.(填點(diǎn)的坐標(biāo))
(3)結(jié)合函數(shù)圖象,當(dāng)時,求的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線與軸交于兩點(diǎn),是以點(diǎn)為圓心,為半徑的圓上的動點(diǎn),是線段的中點(diǎn),連接,則線段的最小值是( )
A.B.C.D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,矩形ABCD的邊長AB=2,BC=2,△ADE為正三角形.
若半徑為R的圓能夠覆蓋五邊形ABCDE(即五邊形ABCDE的每個頂點(diǎn)都在圓內(nèi)或圓上),則R的最小值是( )
A.2B.4C.2.8D.2.5
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】水平地面上有一個圓形水池,直徑AB長為6m,長為m的一旗桿AC垂直于地面(AC與地面上所有直線都垂直).
(1)若P為弧AB的中點(diǎn),試說明∠BPC=90°
(2)若P弧AB為上任意一點(diǎn)(不與A、B重合),∠BPC=90°還成立嗎,為什么?
(3)弧AB上是否存在點(diǎn)P使△PAB與△PAC相似,若存在求的值,不存在,說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】拋物線直線一個交點(diǎn)另一個交點(diǎn)在軸上,點(diǎn)是線段上異于的一個動點(diǎn),過點(diǎn)作軸的垂線,交拋物線于點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式;
(2)是否存在這樣的點(diǎn),使線段長度最大?若存在,求出最大值及此時點(diǎn)的坐標(biāo),若不存在,說明理由;
(3)求當(dāng)為直角三角形時點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)問題發(fā)現(xiàn):如圖(1).在和中,繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn).為邊的中點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時.與的位置關(guān)系為 ,與的數(shù)量關(guān)系為 .
(2)問題證明:在繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)的過程中,(1)中的結(jié)論是否仍然成立,若成立,請僅就圖2的情形給出證明,若不成立,請說明理山,
(3)拓展應(yīng)用:在繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)的過程中,當(dāng)時,直接寫出的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,當(dāng),滿足(為常數(shù),且,)時,就稱點(diǎn)為“等積點(diǎn)”.若直線()與軸、軸分別交于點(diǎn)和點(diǎn),并且該直線上有且只有一個“等積點(diǎn)”,過點(diǎn)與軸平行的直線和過點(diǎn)與軸平行的直線交于點(diǎn),點(diǎn)是直線上的“等積點(diǎn)”,點(diǎn)是直線上的“等積點(diǎn)”,若的面積為,則______.
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