Question

【題目】已知拋物線y＝ax2+bx+3與x軸分別交于點A(﹣3，0)，B(1，0)交于點C，拋物線的頂點為點D．

（1）拋物線的表達式及頂點D的坐標．

（2）若點F是線段AD上一個動點，

①如圖1，當FC+FO的值最小時，求點F的坐標；

②如圖2，以點A，F，O為頂點的三角形能否與△ABC相似？若能，求出點F的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3，(﹣1，4)；（2）①F(﹣，3)，②能，(﹣，)或(﹣2，2)

【解析】

（1）拋物線的表達式為：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3），故﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，即可求解；再將拋物線解析式化為頂點式即可得出點D的坐標；

（2）①點D的坐標為：（﹣1，4），點A（﹣3，0），點C（0，3），作點O關于直線AD的對稱軸R，連接CR交AD于點F，則點F為所求點，即可求解；

②當∠AOF＝∠ABC時，△AOF∽△CBA，OF∥BC，直線BC的解析式為y＝﹣3x+3，直線OF的解析式為y＝﹣3x，直線AD的解析式為y＝2x+6，聯(lián)立直線OF、AD的表達式并解得：x＝﹣，故點F（﹣，）；當∠AOF＝∠CAB＝45°時，△AOF∽△CAB，∠CAB＝45°，OF⊥AC，直線OF的解析式為y＝﹣x，將上式與y＝2x+6聯(lián)立并解得：x＝﹣2，即可求解．

解：（1）拋物線的表達式為：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3），

故﹣3a＝3，

解得：a＝﹣1，

故拋物線的表達式為：y＝﹣x2﹣2x+3；

點D的坐標為（﹣1，4）

（2）①點D的坐標為：（﹣1，4），點A（﹣3，0），點C（0，3），

作點O關于直線AD的對稱軸R，連接CR交AD于點F，則點F為所求點，

FC+FO＝FC+RF＝CR為最小，

連接AR，設直線OR交AD于點H，

由點A、D的坐標得，直線AD的表達式為：y＝2x+6，

則tan∠DAO＝2＝tanα，

設∠HOA＝∠β，則tanβ＝，則cosβ＝，sinβ＝，

OH＝，OR＝2OH＝3，

yR＝ORsinβ＝3×＝3＝yC，

故RC∥x軸，

故yF＝3＝2x+6，x＝﹣，

則點F（﹣，3）；

②在Rt△ACD中，tan∠CAD，

在Rt△OBC中，tan∠OCB＝，

∴∠ACD＝∠OCB，

∵OA＝OC，

∴∠OAC＝∠OCA＝45°，

∴∠FAO＝∠ACB，

若以A，F，O為頂點的三角形與△ABC相似，則可分兩種情況考慮：

當∠AOF＝∠ABC時，△AOF∽△CBA，

∴OF∥BC，

設直線BC的解析式為y＝kx+b，

將點B、C的坐標代入上式并解得：

直線BC的解析式為y＝﹣3x+3，

∴直線OF的解析式為y＝﹣3x，

直線AD的解析式為y＝2x+6，

聯(lián)立直線OF、AD的表達式，

解得：x＝﹣，故點F（﹣，）：；

當∠AOF＝∠CAB＝45°時，△AOF∽△CAB，

∵∠CAB＝45°，

∴OF⊥AC，

∴直線OF的解析式為y＝﹣x，

將上式與y＝2x+6聯(lián)立并解得：x＝﹣2，

故點F（﹣2，2）；

綜合以上可得F點的坐標為（﹣，）或（﹣2，2）．