【題目】MON45°,點(diǎn)P在射線OM上,點(diǎn)AB在射線ON上(點(diǎn)B與點(diǎn)O在點(diǎn)A的兩側(cè)),且AB1,以點(diǎn)P為旋轉(zhuǎn)中心,將線段AB逆時針旋轉(zhuǎn)90°,得到線段CD(點(diǎn)C與點(diǎn)A對應(yīng),點(diǎn)D與點(diǎn)B對應(yīng)).

1)如圖,若OA1,OP,依題意補(bǔ)全圖形;

2)若OP,當(dāng)線段AB在射線ON上運(yùn)動時,線段CD與射線OM有公共點(diǎn),求OA的取值范圍;

3)一條線段上所有的點(diǎn)都在一個圓的圓內(nèi)或圓上,稱這個圓為這條線段的覆蓋圓.若OA1,當(dāng)點(diǎn)P在射線OM上運(yùn)動時,以射線OM上一點(diǎn)Q為圓心作線段CD的覆蓋圓,直接寫出當(dāng)線段CD的覆蓋圓的直徑取得最小值時OPOQ的長度.

【答案】(1)見解析;(2)1≤OA≤2;(3)OPOQ

【解析】

1)利用直角三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)確定點(diǎn)C和點(diǎn)D的位置,連接即可得到線段CD;

2)如圖2(見解析),作ON于點(diǎn)E,作OM于點(diǎn)G,利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形全等的判定定理推出,則有,從而可得點(diǎn)C和點(diǎn)D的位置,然后結(jié)合圖形,分析線段CD與射線OM有公共點(diǎn)時,OA的最小值與最大值即可;

3)先確認(rèn)當(dāng)線段CD的覆蓋圓的直徑取得最小值時的直徑,再利用直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求解即可.

1

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知:

是等腰直角三角形

D正好落在OM

因此,補(bǔ)全圖形如圖1所示;

2)如圖2,作ON于點(diǎn)E,作OM于點(diǎn)G

連接PA、PC

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得:

則點(diǎn)C在射線EF

同理可證:點(diǎn)D也在射線EF

因此,當(dāng)線段AB在射線ON上從左向右平移時,線段CD在射線EF上從下向上平移,且

當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)G重合時,OA取得最小值,由(1)可知,最小值為

如圖3,當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)G重合時,OA取得最大值,最大值為

綜上,OA的取值范圍是;

3)如圖4.作PEOMON于點(diǎn)E,作EFONOM于點(diǎn)Q

當(dāng)線段CD的覆蓋圓的直徑取得最小值時,直徑為

則圓心點(diǎn)QCD的中點(diǎn),

由(2)可知

中,

中,

,解得

的長度為,的長度為.

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的面積.

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