Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，與坐標(biāo)原點(diǎn)O在同一直線上，且AO=BO，其中m，n滿足．

（1）求點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；

（2）如圖1，若點(diǎn)M，P分別是x軸正半軸和y軸正半軸上的點(diǎn)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)不等于2，點(diǎn)N在第一象限內(nèi)，且，PA⊥PN，，求證：BM⊥MN；

（3）如圖2，作AC⊥y軸于點(diǎn)C，AD⊥x軸于點(diǎn)D，在CA延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)E，使，連結(jié)BE交AD于點(diǎn)F，恰好有，點(diǎn)G是CB上一點(diǎn)，且，連結(jié)FG，求證：．

Answer 1

【答案】（1）A點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,1）,B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-1）；（2）詳見解析；（3）詳見解析.

【解析】

（1）將關(guān)于m、n的關(guān)系式進(jìn)行變形，成為連個(gè)完全平方式的和，解出m和n的值，即可得到A、B的坐標(biāo).

（2）求證兩線段垂直，可以通過(guò)將兩直線所成的角進(jìn)行拆分，然后計(jì)算各個(gè)角相加的和，本題通過(guò)在x軸負(fù)半軸取點(diǎn)Q，OQ=OM,連接QA,QP,PM,然后根據(jù)題干中條件和輔助線條件求證 △PQA≌△PMN，得出PQ=PM，再繼續(xù)求證△PQA≌△PMN，得到△QPM為等腰直角三角形，得出角PQM=45°，再根據(jù)等量代換，求∠NMP、∠OMB、∠QMP之和即可.

（3）要求證，只需證兩邊所在三角形全等即可，即求證△EFH≌△FBG.根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)特征和等量代換關(guān)系得出,然后求證，根據(jù)三角形全等的性質(zhì)得到和等量代換得到∠FBG=∠EHF，最后根據(jù)三角形全等的判定方法證明△EFH≌△FBG即可解決.

（1）解：∵

∴

即

∴

解得：

∵，

∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,1）,B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-1）

（2）證明：

如圖，在x軸負(fù)半軸取點(diǎn)Q，OQ=OM,連接QA,QP,PM,

∵AO=BO,∠AOQ=∠BOM

∴△AOQ≌△BOM（SAS）

∠AQO=∠BMO

∴AQ=BM=MN,

又∵OQ=OM,PO⊥QM

∴PQ=PM,

又∵PA=PN

∴△PQA≌△PMN（SSS）

∴∠QPA=∠MPN，∠PQA=∠PMN

∴∠QPA+∠APM=∠MPN+∠APM=90°

∴△QPM為等腰直角三角形

∴∠PMQ=∠PQM=45°，

∵∠PQA=∠NMP，∠AQO=∠OMB

∴∠PQA+∠AQO=∠NMP+∠OMB=∠PQM=45°

∴∠NMP+∠OMB+∠QMP=90°.

∴BM⊥MN

（3）證明：過(guò)B作BH⊥AF交AF延長(zhǎng)線于H，連接EH，如圖：

∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1,1），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，-1）

∴H點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，-1）

∴

又∵CG=1，

∵AC⊥y軸，AD⊥x軸，BH⊥AH

∴∠FHB=∠EAH，

∠EHA=∠FBH

∵AE=BG,AC=CG，

∴CE=CB

∴∠CEB=∠CBE

又∵∠HBE=∠CEB

∴∠HBE=∠EBC

∴∠FBG=∠EHF

在△EFH和△FBG中

∴△EFH≌△FBG