【題目】在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,∠ABC=∠ACB=45°,在△ABC外側(cè)作∠ACM,使得∠ACM=∠ABC,點(diǎn)D是射線CB上的動點(diǎn),過點(diǎn)D作直線CM的垂線,垂足為E,交直線AC于F.
(1)當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時,如圖1所示,線段DF與EC的數(shù)量關(guān)系是 ;
(2)當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動到CB延長線上某一點(diǎn)時,線段DF和EC是否保持上述數(shù)量關(guān)系?請在圖2中畫出圖形,并說明理由.
【答案】(1)DF=2EC;(2)仍然成立;理由見解析.
【解析】
(1)延長BA、CM交于點(diǎn)N,先證明BC=BN,得出CN=2CE,再證明△BAF≌△CAN,得BF=CN,即可得出結(jié)論;
(2)作∠PDE=22.5°,交CE的延長線于P點(diǎn),交CA的延長線于N,先證明DC=PD,得出PC=2CE,再證明△DNF≌△PNC,得出DF=PC,即可得出結(jié)論.
(1)DF=2EC,理由是:
如圖1,延長BA、CM交于點(diǎn)N,
∵∠BAC=∠BEC=90°,∠AFB=∠EFC,
∴∠ABE=∠ACM=∠ABC,
∴BE平分∠ABC,
∵BE⊥CN,
∴BC=BN,
∴E是CN的中點(diǎn),
∴NC=2CE,
∵AB=AC,∠BAC=∠CAN=90°,
∴△BAF≌△CAN(ASA),
∴BF=CN,
∴BF=2EC,即DF=2EC;
(2)仍然成立,DF=2EC;
理由如下:如圖2,作∠PDE=22.5°,交CE的延長線于P點(diǎn),交CA的延長線于N,
∵DE⊥PC,∠ECD=67.5,
∴∠EDC=22.5°,
∴∠PDE=∠EDC,∠NDC=45°,
∴∠DPC=67.5°,
在△DPE和△DEC中,,
∴△DPE≌△DEC(AAS),
∴PD=CD,PE=EC,
∴PC=2CE,
∵∠NDC=45°,∠NCD=45°,
∴∠NCD=∠NDC,∠DNC=90°,
∴△NDC是等腰直角三角形
∴ND=NC且∠DNC=∠PNC,
在△DNF和△PNC中,,
∴△DNF≌△PNC(ASA),
∴DF=PC,
∴DF=2CE.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在一個三角形中,如果一個角是另一個角的2倍,我們稱這種三角形為倍角三角形.如圖1,倍角△ABC中,∠A=2∠B,∠A、∠B、∠C的對邊分別記為a,b,c,倍角三角形的三邊a,b,c有什么關(guān)系呢?讓我們一起來探索.
(1)我們先從特殊的倍角三角形入手研究.請你結(jié)合圖形填空:
三三角形角形 | 角的已知量 | ||
圖2 | ∠A=2∠B=90° | ||
圖3 | ∠A=2∠B=60° |
(2)如圖4,對于一般的倍角△ABC,若∠CAB=2∠CBA,∠CAB、∠CBA、∠C的對邊分別記為a,b,c,a,b,c,三邊有什么關(guān)系呢?請你作出猜測,并結(jié)合圖4給出的輔助線提示加以證明;
(3)請你運(yùn)用(2)中的結(jié)論解決下列問題:若一個倍角三角形的兩邊長為5,6,求第三邊長.(直接寫出結(jié)論即可)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】大學(xué)畢業(yè)生小王響應(yīng)國家“自主創(chuàng)業(yè)”的號召,利用銀行小額無息貸款開辦了一家飾品店.該店購進(jìn)一種今年新上市的飾品進(jìn)行銷售,飾品的進(jìn)價為每件元,售價為每件元,每月可賣出件.市場調(diào)查反映:調(diào)整價格時,售價每漲元每月要少賣件;售價每下降元每月要多賣件.為了獲得更大的利潤,現(xiàn)將飾品售價調(diào)整為(元/件)(即售價上漲,即售價下降),每月飾品銷量為(件),月利潤為(元).
直接寫出與之間的函數(shù)關(guān)系式;
如何確定銷售價格才能使月利潤最大?求最大月利潤;
為了使每月利潤不少于元應(yīng)如何控制銷售價格?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn),與坐標(biāo)原點(diǎn)O在同一直線上,且AO=BO,其中m,n滿足.
(1)求點(diǎn)A,B的坐標(biāo);
(2)如圖1,若點(diǎn)M,P分別是x軸正半軸和y軸正半軸上的點(diǎn),點(diǎn)P的縱坐標(biāo)不等于2,點(diǎn)N在第一象限內(nèi),且,PA⊥PN,,求證:BM⊥MN;
(3)如圖2,作AC⊥y軸于點(diǎn)C,AD⊥x軸于點(diǎn)D,在CA延長線上取一點(diǎn)E,使,連結(jié)BE交AD于點(diǎn)F,恰好有,點(diǎn)G是CB上一點(diǎn),且,連結(jié)FG,求證:.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD是一個四邊形的草坪,AB與AD垂直,通過測量,獲得如下數(shù)據(jù):AB=12m,BC=14m,AD=5m,CD=3m,請你測算這塊草坪的面積.(結(jié)果保留準(zhǔn)確值)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某氣球內(nèi)充滿一定質(zhì)量的氣體,當(dāng)溫度不變時,氣球內(nèi)氣體的氣壓p(kPa)是氣體體積V(m3)的反比例函數(shù),其圖象如圖所示.
(1)寫出這一函數(shù)的表達(dá)式.
(2)當(dāng)氣體體積為1 m3時,氣壓是多少?
(3)當(dāng)氣球內(nèi)的氣壓大于140 kPa時,氣球?qū)⒈?/span>,為了安全考慮,氣體的體積應(yīng)不小于多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在矩形ABCD中,點(diǎn)A(1,1),B(3,1),C(3,2),反比例函數(shù)y= (x>0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)D,且與AB相交于點(diǎn)E,
(1)求反比例函數(shù)的解析式;
(2)過點(diǎn)C、E作直線,求直線CE的解析式;
(3)如圖2,將矩形ABCD沿直線CE平移,使得點(diǎn)C與點(diǎn)E重合,求線段BD掃過的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AD是△ABC的高線,BD=CD,點(diǎn)E是AD上一點(diǎn),BE=BC,將△ABE沿BE所在直線折疊,點(diǎn)A落在點(diǎn)A′位置上,連接AA',BA′,EA′與AC相交于點(diǎn)H,BA′與AC相交于點(diǎn)F.小夏依據(jù)上述條件,寫出下列四個結(jié)論:①∠EBC=60°;②∠BFC=60°;③∠EA′A=60°;④∠A′HA=60°.以上結(jié)論中,正確的是( )
A.①B.③④C.①②③D.①②④
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知△ABC各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-3,2),B(-4,-3),C(-1,-1)
(1)畫出△ABC,并畫出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A1B1C1,并寫出A的對應(yīng)點(diǎn)A1的坐標(biāo).
(2)尺規(guī)作圖,∠A的角平分線AD,交BC于點(diǎn)D(保留作圖痕跡,不寫作法).
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