【題目】如圖1，在矩形紙片中，，，折疊紙片使點落在邊上的處，折痕為，過點作交于，連接．

圖1 圖2

（1）求證：四邊形為菱形；

（2）當(dāng)點在邊上移動時，折痕的端點，也隨之移動；

①當(dāng)點與點重合時（如圖2），求菱形的邊長；

②若限定，分別在邊，上移動，則點在邊上移動的最大距離是_______．

【答案】（1）見解析；（2）①；②點在邊上移動的最大距離為

【解析】

（1）由折疊的性質(zhì)得出，，，由平行線的性質(zhì)得出，證出，得出，因此，即可得出結(jié)論；

（2）①由矩形的性質(zhì)得出，，，由對稱的性質(zhì)得出，在中，由勾股定理求出，得出；在中，由勾股定理得出方程，解方程得出即可；

②當(dāng)點與點重合時，點離點最近，由①知，此時；當(dāng)點與點重合時，點離點最遠，此時四邊形為正方形，，即可得出答案．

（1）證明：折疊紙片使點落在邊上的處，折痕為，

點與點關(guān)于對稱，

，，．

又，

，，

，，

四邊形為菱形．

（2）解：①四邊形是矩形，

，，．

點與點關(guān)于對稱，

．

在中，

，

．

在中，

，，

．

解得，．

②當(dāng)點與點重合時，點離點最近，如圖，由①知，此時．

當(dāng)點與點重合時，點離點最遠，如下圖：此時四邊形為正方形，，

點在邊上移動的最大距離為．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，內(nèi)接于以為直徑的中，且點是的內(nèi)心，的延長線與交于點，與交于點，的切線交的延長線于點．

（1）試判斷的形狀，并給予證明；

（2）若，，求的長．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某高中學(xué)校為使高一新生入校后及時穿上合身的校服，現(xiàn)提前對某校九年級（1）班學(xué)生即將所穿校服型號情況進行摸底調(diào)查，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制如圖兩個不完整的統(tǒng)計圖（校服型號以身高作為標準，共分為6種型號）．

根據(jù)以上信息，解答下列問題：

（1）該班共有多少名學(xué)生？

（2）在條形統(tǒng)計圖中，請把空缺部分補充完整；在扇形統(tǒng)計圖中，請計算185型校服所對應(yīng)的扇形圓心角的大�。�

（3）求該班學(xué)生所穿校服型號的眾數(shù)和中位數(shù)．如果該高中學(xué)校準備招收2000名高一新生，則估計需要準備多少套180型號的校服？

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】問題背景：如圖，四邊形中，，，，，，為邊上一動點，連接、．

問題探究

（1）如圖1，若，則的長為__________．

（2）如圖2，請求出周長的最小值；

（3）如圖3，過點作于點，過點分別作于，于點，連接

①是否存在點，使得的面積最大？若存在，求出面積的最大值，若不存在，請說明理由；

②請直接寫出面積的最小值．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為調(diào)查市市民上班時最常用的交通工具的情況，隨機抽取了部分市民進行調(diào)查，要求被調(diào)查者從“A：自行車，B：電動車，C：公交車，D：家庭汽車，E：其他”五個選項中選擇最常用的一項，將所有調(diào)查結(jié)果整理后繪制成如下不完整的條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖，請結(jié)合統(tǒng)計圖回答下列問題：

(1)在這次調(diào)查中，一共調(diào)查了 名市民，扇形統(tǒng)計圖中，C組對應(yīng)的扇形圓心角是 ；

(2)請補全條形統(tǒng)計圖；

(3)若甲、乙兩人上班時從A，B，C三種交通工具中隨機選擇一種，乙上班時從B、C、D三種交通工具中隨機選擇一種，請用樹狀圖法或列表法求甲、乙兩人都不選B種交通工具上班的概率．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線交軸于點，交軸于點，若圖中陰影部分的三角形都是等腰直角三角形，則從左往右數(shù)第5個陰影三角形的面積是_____，第2019個陰影三角形的面積是_____．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在△ABC 中，∠ACB＝90°，分別以點A和點B為圓心，以相同的長（大于AB）為半徑作弧，兩弧相交于點M和點N，作直線MN交AB于點D，交BC于點E．若AC＝3，AB＝5，則DE等于_____．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】矩形對角線的四等分點叫做矩形的奇特點．如圖，在平面直角坐標系中，點，為拋物線上的兩個動點（在的左側(cè)），且軸，以為邊畫矩形，原點在邊上．

（1）如圖1，當(dāng)矩形為正方形時，求該矩形在第一象限內(nèi)的奇特點的坐標．

（2）如圖2，在點，的運動過程中，連結(jié)交拋物線于點．

①求證：點為矩形的奇特點；

②連結(jié)，若，拋物線上的點為矩形的另一奇特點，求經(jīng)過，，三點的圓的半徑．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知：如圖①，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，AE⊥BD，垂足是E．點F是點E關(guān)于AB的對稱點，連接AF、BF．

（1）求AF和BE的長；

（2）若將△ABF沿著射線BD方向平移，設(shè)平移的距離為m（平移距離指點B沿BD方向所經(jīng)過的線段長度）．當(dāng)點F分別平移到線段AB、AD上時，直接寫出相應(yīng)的m的值．

（3）如圖②，將△ABF繞點B順時針旋轉(zhuǎn)一個角α（0°＜α＜180°），記旋轉(zhuǎn)中的△ABF為△A′BF′，在旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè)A′F′所在的直線與直線AD交于點P，與直線BD交于點Q．是否存在這樣的P、Q兩點，使△DPQ為等腰三角形？若存在，求出此時DQ的長；若不存在，請說明理由．

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