【題目】已知:如圖①,在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,AE⊥BD,垂足是E.點F是點E關(guān)于AB的對稱點,連接AF、BF.
(1)求AF和BE的長;
(2)若將△ABF沿著射線BD方向平移,設(shè)平移的距離為m(平移距離指點B沿BD方向所經(jīng)過的線段長度).當(dāng)點F分別平移到線段AB、AD上時,直接寫出相應(yīng)的m的值.
(3)如圖②,將△ABF繞點B順時針旋轉(zhuǎn)一個角α(0°<α<180°),記旋轉(zhuǎn)中的△ABF為△A′BF′,在旋轉(zhuǎn)過程中,設(shè)A′F′所在的直線與直線AD交于點P,與直線BD交于點Q.是否存在這樣的P、Q兩點,使△DPQ為等腰三角形?若存在,求出此時DQ的長;若不存在,請說明理由.
【答案】1);;(2);(3)存在,2 或 或 或
【解析】
(1)利用矩形性質(zhì)、求解,結(jié)合AE ⊥BD利用等面積法求解AE,利用勾股定理求解BE,由軸對稱的性質(zhì)可得答案.
(2)依題意畫出圖形,如圖2所示.利用平移性質(zhì),確定圖形中的等腰三角形,分別求出m的值;
(3)在旋轉(zhuǎn)過程中,等腰△DPQ有4種情形,如圖3所示,對于各種情形分別進(jìn)行計算.
解:(1)矩形ABCD,
是點E關(guān)于AB的對稱點,
(2)由對稱點性質(zhì)可知,
設(shè)平移中的三角形為△A′B′F′,
如圖2所示: ∠1=∠2.
由平移性質(zhì)可知,AB∥A′B′,
∠4=∠1,BF=B′F′=.
①當(dāng)點F′落在AB上時,
∵AB∥A′B′,
∴∠3=
∴∠3=∠2,
∴BB′=B′F′=,即m=;
②當(dāng)點F′落在AD上時, ∵AB∥A′B′,
∴∠6=∠2,
∵∠1=∠2,∠5=∠1,
∴∠5=∠6,
A′B′⊥AD,
∴△B′F′D為等腰三角形,
∴B′D=B′F′=,
∴BB′=BD-B′D=
綜上:或
(3)存在.
理由如下:假設(shè)存在, 在旋轉(zhuǎn)過程中,等腰△DPQ依次有以下4種情形:
①如圖3-1所示,點Q落在BD延長線上,且PD=DQ,
∠2=2∠Q,
∵∠1=∠3+∠Q,
∴∠3=∠Q,
∴A′Q=A′B=AB=3,
∴F′Q=F′A′+A′Q=
在Rt△BF′Q中,由勾股定理得:
BQ
∴DQ=BQ-BD=;
②如答圖3-2所示,點Q落在BD上,且PQ=DQ, ∴∠2=∠P,
同理 ∠1=∠2,
∴∠1=∠P,
∴BA′∥PD,
∵PD∥BC,
∴此時點A′落在BC邊上.
∵PD∥BC,
∠3=∠2,
∴∠3=∠1,
∴BQ=A′Q,
∴F′Q=F′A′-A′Q=-BQ.
在Rt△BQF′中,由勾股定理得:
解得:
∴DQ=BD-BQ;
③如圖3-3所示,點Q落在BD上,且PD=DQ,則∠3=∠4.
∵∠2+∠3+∠4=180°,∠3=∠4,
同理∠1=∠2,∠4=.
∴∠A′QB=∠A′BQ,
∴A′Q=A′B=3,
∴F′Q=A′Q-A′F′
在Rt△BF′Q中,由勾股定理得:
BQ
∴DQ=BD-BQ;
④如圖3-4所示,點Q落在BD上,且PQ=PD,則∠2=∠3.
同理∠1=∠2,∠3=∠4,∠2=∠3,
∴∠1=∠4,
∴BQ=BA′=3,
∴DQ=BD-BQ.
綜上所述,存在4組符合條件的點P、點Q,使△DPQ為等腰三角形; DQ的長度分別為 或 或 或
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在矩形紙片中,,,折疊紙片使點落在邊上的處,折痕為,過點作交于,連接.
圖1 圖2
(1)求證:四邊形為菱形;
(2)當(dāng)點在邊上移動時,折痕的端點,也隨之移動;
①當(dāng)點與點重合時(如圖2),求菱形的邊長;
②若限定,分別在邊,上移動,則點在邊上移動的最大距離是_______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“奔跑吧,兄弟!”節(jié)目組,預(yù)設(shè)計一個新的游戲:“奔跑”路線需經(jīng)A、B、C、D四地.如圖,其中A、B、C三地在同一直線上,D地在A地北偏東30°方向、在C地北偏西45°方向.C地在A地北偏東75°方向.且BD=BC=30m.從A地到D地的距離是( 。
A. 30m B. 20m C. 30m D. 15m
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【題目】閱讀理解,并解決問題:
“整體思想”是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一種重要思想,貫穿于中學(xué)數(shù)學(xué)的全過程,比如整體代入,整體換元,整體約減,整體求和,整體構(gòu)造,…,有些問題若從局部求解,采取各個擊破的方式,很難解決,而從全局著眼,整體思考,會使問題化繁為簡,化難為易,復(fù)雜問題也能迎刃而解.
例:當(dāng)代數(shù)式的值為7時,求代數(shù)式的值.
解:因為,所以.
所以.
以上方法是典型的整體代入法.
請根據(jù)閱讀材料,解決下列問題:
(1)已知,求的值.
(2)我們知道方程的解是,現(xiàn)給出另一個方程,則它的解是 .
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【題目】無錫有豐富的旅游產(chǎn)品.一天某校九年級(1)班的同學(xué)就部分旅游產(chǎn)品的喜愛情況隨機(jī)抽取了的2%來錫游客進(jìn)行問卷調(diào)查,要求游客在列舉的旅游產(chǎn)品中選出最喜愛的產(chǎn)品,且只能選一項,以下是同學(xué)們整理的不完整的統(tǒng)計圖:
根據(jù)以上信息完成下列問題:
(1)請將條形統(tǒng)計圖補(bǔ)充完整.
(2)在扇形統(tǒng)計圖中,A部分所占的圓心角是 度.
(3)根據(jù)調(diào)查結(jié)果估計這天在所有的游客中最喜愛惠山泥人的約有多少人.
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【題目】觀察等式:;;已知按一定規(guī)律排列的一組數(shù):、、、、、.若,用含的式子表示這組數(shù)的和是( )
A. B. C. D.
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【題目】如圖①,已知點、在直線上,且于點,且,以為直徑在的左側(cè)作半圓于點,且.
(1)若半圓上有一點,則的最大值為__________;
(2)向右沿直線平移得到.
①如圖②,若截半圓的的長為,求的度數(shù);
②當(dāng)半圓與的邊相切時,求平移距離.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線,過點和點,與y軸交于點C,連接AC交x軸于點D,連接OA,OB
求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
求點D的坐標(biāo);
的大小是______;
將繞點O旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)后點C的對應(yīng)點是點,點D的對應(yīng)點是點,直線與直線交于點M,在旋轉(zhuǎn)過程中,當(dāng)點M與點重合時,請直接寫出點M到AB的距離.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示的正方形網(wǎng)格中,△的頂點均在格點上,請在所給直角坐標(biāo)系中按要求畫圖和解答下列問題:
(1)作出△關(guān)于y軸對稱的△ A1B1C1,并寫出點C1的坐標(biāo).
(2)以點為旋轉(zhuǎn)中心,將△繞點順時針旋轉(zhuǎn)得△ A2B2C2,畫出△ A2B2C2 ,并寫出點C2的坐標(biāo).
(3)畫出△關(guān)于坐標(biāo)原點成中心對稱的△ A3B3C3,并寫出點C3的坐標(biāo).
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