Question

【題目】矩形對角線的四等分點叫做矩形的奇特點．如圖，在平面直角坐標系中，點，為拋物線上的兩個動點（在的左側），且軸，以為邊畫矩形，原點在邊上．

（1）如圖1，當矩形為正方形時，求該矩形在第一象限內的奇特點的坐標．

（2）如圖2，在點，的運動過程中，連結交拋物線于點．

①求證：點為矩形的奇特點；

②連結，若，拋物線上的點為矩形的另一奇特點，求經過，，三點的圓的半徑．

Answer 1

【答案】（1），；（2）①見解析；②半徑為

【解析】

（1）根據拋物線的解析式，把C點左邊表示成，則，當矩形為正方形時，根據解出a，即可得到答案.

（2）①先把矩形在第一象限上的奇特點找出來，證明可表示成，再結合拋物線的解析式，可證明.

②根據是奇特點，證，由對稱性得到由對稱性，，D得到，，，四點共圓，且為直徑，根據三角函數可求出半徑.

（1）設，則，

因為是矩形，

易證，，

當矩形為正方形時，，

解得，

∴，，，

∴易得矩形在第一象限內的奇特點的坐標為，．

（2）①證明：設，則，

∴矩形在第一象限上的奇特點為，

又在拋物線上，

∴為與拋物線的交點，

即：點為矩形的奇特點．

②由是奇特點，設，．

可以得到：，

，

∴，

由對稱性，，

∴，，，四點共圓，且為直徑，

∴，

∴，

∴，即半徑為．