【題目】如圖,已知二次函數(shù)L1:y=ax2-2ax+a+3(a>0)和二次函數(shù)L2:y=-a(x+1)2+1(a>0)圖象的頂點(diǎn)分別為M,N,與y軸分別交于點(diǎn)E,F(xiàn).
(1)函數(shù)y=ax2-2ax+a+3(a>0)的最小值為 , 當(dāng)二次函數(shù)L1 , L2的y值同時隨著x的增大而減小時,x的取值范圍是
(2)當(dāng)EF=MN時,求a的值,并判斷四邊形ENFM的形狀(直接寫出,不必證明).
(3)若二次函數(shù)L2的圖象與x軸的右交點(diǎn)為A(m,0),當(dāng)△AMN為等腰三角形時,求方程-a(x+1)2+1=0的解.
【答案】
(1)3;﹣1≤x≤1
(2)
解:由二次函數(shù)L1:y=ax2-2ax+a+3可知E(0,a+3),
由二次函數(shù)L2:y=-a(x+1)2+1=﹣a2x-2ax-a+1可知F(0,-a+1),
∵M(jìn)(1,3),N(-1,1),
∴EF=MN==2,
∴a+3-(-a+1)=2,
∴a=-1,
作MG⊥y軸于G,則MG=1,作NH⊥y軸于H,則NH=1,
∴MG=NH=1,
∵EG=a+3-3=a,F(xiàn)H=1-(-a+1)=a,
∴EG=FH,
在△EMG和△FNH中,
,
∴△EMG≌△FNH(SAS),
∴∠MEF=∠NFE,EM=NF,
∴EM∥NF,
∴四邊形ENFM是平行四邊形;
∵EF=MN,
∴四邊形ENFM是矩形
(3)
解:由△AMN為等腰三角形,可分為如下三種情況:
①如圖2,
當(dāng)MN=NA=2時,過點(diǎn)N作ND⊥x周,垂足為點(diǎn)D,則有ND=1,DA=m-(-1)=m+1,
在Rt△NDA中,NA2=DA2+ND2,即(2)2=(m+1)2+12,
∴m1=-1,m2=--1(不合題意,舍去),
∴A(-1,0).
由拋物線y=-a(x+1)2+1(a>0)的對稱軸為x=-1,
∴它與x軸的另一個交點(diǎn)坐標(biāo)為(-1-,0).
∴方程-a(x+1)2+1=0的解為x1=﹣1,x2=-1-.
②如圖3,
當(dāng)MA=NA時,過點(diǎn)M作MG⊥x軸,垂足為G,則有OG=1,MG=3,GA=|m-1|,
∴在Rt△MGA中,MA2=MG2+GA2,即MA2=32+(m-1)2,
又∵NA2=(m+1)2+12,
∴(m+1)2+12=32+(m-1)2,m=2,
∴A(2,0),
則拋物線y=-a(x+1)2+1(a>0)的左交點(diǎn)坐標(biāo)為(-4,0),
∴方程-a(x+1)2+1=0的解為x1=2,x2=-4.
③當(dāng)MN=MA時,32+(m-1)2=(2)2,
∴m無實(shí)數(shù)解,舍去.
綜上所述,當(dāng)△AMN為等腰三角形時,方程-a(x+1)2=0的解為
x1=-1,x2=-1-或x1=2,x2=-4.
【解析】(1)把二次函數(shù)L1:y=ax2-2ax+a+3化成頂點(diǎn)式,即可求得最小值,分別求得二次函數(shù)L1 , L2的y值隨著x的增大而減小的x的取值,從而求得二次函數(shù)L1 , L2的y值同時隨著x的增大而減小時,x的取值范圍;
(2)先求得E、F點(diǎn)的坐標(biāo),作MG⊥y軸于G,則MG=1,作NH⊥y軸于H,則NH=1,從而求得MG=NH=1,然后證得△EMG≌△FNH,∠MEF=∠NFE,EM=NF,進(jìn)而證得EM∥NF,從而得出四邊形ENFM是平行四邊形;
(3)作MN的垂直平分線,交MN于D,交x軸于A,先求得D的坐標(biāo),繼而求得MN的解析式,進(jìn)而就可求得直線AD的解析式,令y=0,求得A的坐標(biāo),根據(jù)對稱軸從而求得另一個交點(diǎn)的坐標(biāo),就可求得方程-a(x+1)2+1=0的解.
此題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用,包括函數(shù)表達(dá)式,增減性問題,平行四邊形判定,相似三角形等.
年級 | 高中課程 | 年級 | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,將邊長為6cm的正方形ABCD折疊,使點(diǎn)D落在AB邊的中點(diǎn)E處,折痕為FH,點(diǎn)C落在Q處,EQ與BC交于點(diǎn)G,則△EBG的周長是cm.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△AOB中,∠AOB=90°,AO=,BO=1,AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)E,交射線BO于點(diǎn)F.點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿射線AO以每秒個單位的速度運(yùn)動,同時點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)沿OB方向以每秒1個單位的速度運(yùn)動,當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)B時,點(diǎn)P、Q同時停止運(yùn)動.設(shè)運(yùn)動的時間為t秒.
(1)當(dāng)t= 時,PQ∥EF;
(2)若P、Q關(guān)于點(diǎn)O的對稱點(diǎn)分別為P′、Q′,當(dāng)線段P′Q′與線段EF有公共點(diǎn)時,t的取值范圍是 .
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx(a≠0)經(jīng)過點(diǎn)A(2,0),點(diǎn)B(3,3),BC⊥x軸于點(diǎn)C,連接OB,等腰直角三角形DEF的斜邊EF在x軸上,點(diǎn)E的坐標(biāo)為(﹣4,0),點(diǎn)F與原點(diǎn)重合
(1)求拋物線的解析式并直接寫出它的對稱軸;
(2)△DEF以每秒1個單位長度的速度沿x軸正方向移動,運(yùn)動時間為t秒,當(dāng)點(diǎn)D落在BC邊上時停止運(yùn)動,設(shè)△DEF與△OBC的重疊部分的面積為S,求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式;
(3)點(diǎn)P是拋物線對稱軸上一點(diǎn),當(dāng)△ABP是直角三角形時,請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo).
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在一個不透明的袋子中裝有僅顏色不同的10個小球,其中紅球4個,黑球6個.
(1)先從袋子中取出m(m>1)個紅球,再從袋子中隨機(jī)摸出1個球,將“摸出黑球”記為事件A,請完成下列表格:
事件A | 必然事件 | 隨機(jī)事件 |
m的值 |
(2)先從袋子中取出m個紅球,再放入m個一樣的黑球并搖勻,隨機(jī)摸出1個黑球的概率等于,求m的值.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】寫一個你喜歡的實(shí)數(shù)m的值 ,使得事件“對于二次函數(shù),當(dāng)x<﹣3時,y隨x的增大而減小”成為隨機(jī)事件.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】圖①是我們常見的地磚上的圖案,其中包含了一種特殊的平面圖形﹣正八邊形.
(1)如圖②,AE是⊙O的直徑,用直尺和圓規(guī)作⊙O的內(nèi)接正八邊形ABCDEFGH(不寫作法,保留作圖痕跡);
(2)在(1)的前提下,連接OD,已知OA=5,若扇形OAD(∠AOD<180°)是一個圓錐的側(cè)面,則這個圓錐底面圓的半徑等于
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)△ABC的面積為1,如圖①,將邊BC、AC分別2等分,BE1、AD1相交于點(diǎn)O,△AOB的面積記為S1;如圖②將邊BC、AC分別3等分,BE1、AD1相交于點(diǎn)O,△AOB的面積記為S2;…,依此類推,則Sn可表示為 .(用含n的代數(shù)式表示,其中n為正整數(shù))
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一次函數(shù)y=x的圖象如圖所示,它與二次函數(shù)y=ax2﹣4ax+c的圖象交于A、B兩點(diǎn)(其中點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與這個二次函數(shù)圖象的對稱軸交于點(diǎn)C.
(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)
(2)設(shè)二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為D.
①若點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于x軸對稱,且△ACD的面積等于3,求此二次函數(shù)的關(guān)系式;
②若CD=AC,且△ACD的面積等于10,求此二次函數(shù)的關(guān)系式.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com