Question

【題目】如圖，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，AO=，BO=1，AB的垂直平分線交AB于點E，交射線BO于點F．點P從點A出發(fā)沿射線AO以每秒個單位的速度運動，同時點Q從點O出發(fā)沿OB方向以每秒1個單位的速度運動，當(dāng)點Q到達點B時，點P、Q同時停止運動．設(shè)運動的時間為t秒．

（1）當(dāng)t= 時，PQ∥EF；
（2）若P、Q關(guān)于點O的對稱點分別為P′、Q′，當(dāng)線段P′Q′與線段EF有公共點時，t的取值范圍是 .

Answer 1

【答案】；
【解析】解：（1）如圖1，

當(dāng)PQ∥EF時，則∠QPO=∠ENA，
又∵∠AEN=∠QOP=90°，
∴△AEN∽△QOP，
∵∠AOB=90°，AO=，BO=1，
∴tanA===，
∴∠A=∠PQO=30°，
∴==，
解得：t=，
故當(dāng)t=時，PQ∥EF；
所以答案是：；
（2）如圖2，

當(dāng)P點介于P1和P2之間的區(qū)域時，P1′點介于P1′和P2′之間，此時線段P′Q′與線段EF有交點，
當(dāng)P運動到P1時，
∵AE=AB=1，且易知△AEP1′∽△AOB，
∴，∴AP1′=，
∴P1O=P1′O=，
∴AP1=AO+P1O=，
∴此時P點運動的時間t==s，
當(dāng)P點運動到P2時，
∵∠BAO=30°，∠BOA=90°，
∴∠B=60°，
∵AB的垂直平分線交AB于點E，
∴FB=FA，
∴△FBA是等邊三角形，
∴當(dāng)PO=OA=時，此時Q2′與F重合，A與P2′重合，
∴PA=2，則t=1秒時，線段P′Q′與線段EF有公共點，
故當(dāng)t的取值范圍是：≤t≤1 ．
所以答案是：≤t≤1 ．
【考點精析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)的相關(guān)知識點，需要掌握兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線；線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等才能正確解答此題．